实例解读奈奎斯特稳定判据

实例解读奈奎斯特稳定判据

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_41869763/article/details/114278999

奈奎斯特稳定判据是控制理论中的一个重要概念，用于判断线性时不变系统的稳定性。本文通过两个具体实例，详细介绍了奈奎斯特稳定判据的原理和应用，包括开环传递函数的极点计算、Nyquist图的绘制以及系统稳定性的判断。

奈奎斯特判据

Z = P − R Z = P - RZ=P−R

其中，P PP为开环传递函数在虚轴右侧的极点个数；R RR为开环奈奎斯特曲线逆时针绕( − 1 , j 0 ) (-1,j0)(−1,j0)的圈数，Z ZZ为闭环传递函数的极点个数。

若Z = 0 Z=0Z=0，系统稳定，否则系统不稳定。

以下通过两个例子说明如何使用Nyquist判据判断系统稳定性。

例1

1.计算开环极点，得出在虚轴右侧的极点数P PP

开环传递函数

G ( s ) H ( s ) = s s 2 + 1 ⋅ 1 = s s 2 + 1 G(s)H(s) = \frac{s}{s^2 + 1} \cdot 1 = \frac{s}{s^2 + 1}G(s)H(s)=s2+1s ⋅1=s2+1s

  
num = [1 0];
den = [1 0 1];
open_root = roots(den)	
  

  
open_root = 
   0.0000 + 1.0000i
   0.0000 - 1.0000i
  

其开环极点没有在虚轴右侧，故P = 0 P=0P=0。

2.绘制Nyquist图，逆时针绕( − 1 , j 0 ) (-1,j0)(−1,j0)的圈数

  
num = [1 0];
den = [1 0 1];
open_root = roots(den);
open_sys = tf(num, den);
nyquist(open_sys);
  

逆时针绕( − 1 , j 0 ) (-1, j0)(−1,j0)共 0 圈，即R = 0 R=0R=0。

3.判断结果

由于Z = P − R = 0 − 0 = 0 Z=P-R=0-0=0Z=P−R=0−0=0，故系统稳定。

4.验证

容易得出系统的闭环传递函数为

Φ ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) = s s 2 + s + 1 \Phi(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} = \frac{s}{s^2 + s + 1}Φ(s)=1+G(s)H(s)G(s) =s2+s+1s

其单位阶跃响应如下

  
num = [1 0];
den = [1 1 1];
close_sys = tf(num, den);
step(close_sys);
  

可见系统振幅逐渐减小，趋于稳定。

例2

1.计算开环极点，得出在虚轴右侧的极点数P PP

开环传递函数

G ( s ) H ( s ) = s − 2 s 3 + 1 ⋅ 1 = s − 2 s 3 + 1 G(s)H(s) = \frac{s-2}{s^3 + 1} \cdot 1 = \frac{s-2}{s^3 + 1}G(s)H(s)=s3+1s−2 ⋅1=s3+1s−2

  
num = [1 -2];
den = [1 0 0 1];
open_root = roots(den)	
  

  
open_root =
  -1.0000 + 0.0000i
   0.5000 + 0.8660i
   0.5000 - 0.8660i
  

有 2 个开环极点在虚轴右侧，故P = 2 P=2P=2。

2.绘制Nyquist图，逆时针绕( − 1 , j 0 ) (-1,j0)(−1,j0)的圈数

  
num = [1 -2];
den = [1 0 0 1];
open_root = roots(den);
open_sys = tf(num, den);
nyquist(open_sys);
  

逆时针绕( − 1 , j 0 ) (-1, j0)(−1,j0)共 1 圈，即R = 1 R=1R=1。

3.判断结果

由于Z = P − R = 2 − 1 ≠ 0 Z=P-R=2-1 \neq 0Z=P−R=2−1 =0，故系统不稳定。

4.验证

容易得出系统的闭环传递函数为

Φ ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) = s − 2 s 3 + s − 1 \Phi(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} = \frac{s-2}{s^3 + s - 1}Φ(s)=1+G(s)H(s)G(s) =s3+s−1s−2

其单位阶跃响应如下

  
num = [1 -2];
den = [1 0 1 -1];
close_sys = tf(num, den);
step(close_sys);
  

可见系统振幅逐渐增大，不稳定。

总结

Z ZZ的数学意义是闭环传递函数在右半平面的极点个数，P , R P, RP,R都是开环传递函数的得到的， 因此Nyquist判据使用开环传递函数即可判断闭环系统的稳定性，避免求解闭环传递函数及闭环传递函数的根。由Z ZZ的实际意义，容易理解Z = 0 Z=0Z=0时闭环系统自然稳定。

使用Nyquist判据，分三步走，一是判断写出开环传递函数并计算在虚轴右侧的极点个数P PP；二是绘制出Nyquist图并数出逆时针绕( − 1 , j 0 ) (-1,j0)(−1,j0)点的圈数R RR；三是计算Z = P − R Z=P-RZ=P−R，若Z = 0 Z=0Z=0则系统稳定，否则系统不稳定。

需要注意的是，由于手工往往只画出一半的Nyquist图，另一半关于实轴对称，此时数得包含( − 1 , j 0 ) (-1,j0)(−1,j0)得圈数N NN应乘以 2，即Z = P − 2 N Z=P-2NZ=P−2N。

— 完 —