华师版九年级数学：圆中常用辅助线方法详解

华师版九年级数学：圆中常用辅助线方法详解

圆中常用的作辅助线的方法是解决圆相关问题的关键技巧。本文通过多个典型例题，详细讲解了在不同情境下如何巧妙地添加辅助线，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

例题1

已知：⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点E，DE＝OB，∠AOC＝60°。

求：∠E的度数。

解析：

如图，连结OD。

∵DE＝OB，OD＝OB，

∴OD＝DE，

∴∠E＝∠DOE，

∴∠ODC＝∠E＋∠DOE＝2∠E。

∵OC＝OD，

∴∠C＝∠ODC＝2∠E。

∵∠AOC＝∠C＋∠E＝60°，

∴2∠E＋∠E＝60°，

∴∠E＝20°。

故选A。

例题2

两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，顶点E在半圆O的直径上，顶点G在大正方形的边AB上。若小正方形的边长为4cm，求该半圆的半径。

解析：

在有关圆的计算题中，求半径时，常连结半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题。

例题3

如图，AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，点C是弦AB上一动点(不与点A，B重合)，连结CO并延长，交⊙O于点D，连结AD。

(1)求弦AB的长。

(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数。

解析：

如图，连结OA。

∵OA＝OB＝OD，∠B＝30°，∠D＝20°，

∴∠OAB＝∠B＝30°，∠OAD＝∠D＝20°。

∴∠BAD＝∠OAB＋∠OAD＝30°＋20°＝50°。

∴∠BOD＝2∠BAD＝100°。

(3)当AC的长为多少时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，O，C为顶点的三角形相似？

解析：

∵∠BCO＝∠DAB＋∠D，

∴∠BCO＞∠DAB，∠BCO＞∠D。

∴要使△DAC与△BOC相似，需要满足∠DCA＝∠BCO＝90°。

∴∠BOC＝90°－30°＝60°。

∴∠BOD＝180°－60°＝120°。

例题4

如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于点D，DP⊥AC，垂足是点P，DH⊥BM，垂足为点H。求证：AP＝BH。

解析：

连结CE。

∵DE⊥CD，

∴∠CDE＝90°，

∴CE为⊙O的直径。

∵PN＝PE，

∴∠PEN＝∠PNE＝∠FNB。

∵OB＝OE，

∴∠OEB＝∠B，

∵DE∥AB，

∴AB⊥CD，

∴∠BFN＝90°，CF＝DF，

∴∠B＋∠FNB＝90°，

∴∠OEB＋∠PEN＝90°，

∴∠PEC＝90°。

∵OC＝OE，

∴DE＝2OF＝12。

例题5

如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G。

(1)若AB＝10，BC＝12，求△DFC的面积；

(2)若tan∠C＝2，AE＝6，求BG的长。

解析：

如图，连结OC，BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°。

∵CD为⊙O的切线，

∴OC⊥CD。

例题6

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OP∥AC交BC于点D，CP为⊙O的切线。

(1)求证：∠P＝∠B；

证明：

如图，连结OC，

∵PC为⊙O的切线，

∴∠OCP＝90°。

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°。

∵OP∥AC，

∴∠PDC＝∠ACB＝90°，

∴∠PCD＋∠P＝90°，

又∵∠PCD＋∠