辅助角公式详解：从推导到应用
辅助角公式详解：从推导到应用
辅助角公式是李善兰先生提出的一种高等三角函数公式，其主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数，以此来求解有关最值问题。该公式已被写入中学课本，表达式为asinx+bcosx=√(a²+b²)sinx+arctan(b/a)。
公式内容
该公式的主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数，以此来求解有关最值问题。
推导过程
对于型函数，我们可以如此变形
为利用两角和差公式化简，
设
使
（注意到a必须>0）
其等价于
则
即
或
提出问题
如何找出辅助角公式的几何意义呢？或者说，这个公式中的各个量之间有着怎样的联系呢？
对于这样一个复杂的公式，不确定的量太多了。
分析意义
我们需要分析公式中每一个量的意义。
先看等式左边：两个分别增大（或减小）一定倍数的正弦与余弦函数的和。
再看等式右边：一个增大（或减小）一定倍数并且被改变了初相的正弦函数。
从代数意义上讲，辅助角公式是为了对几个同频率的正弦型函数（）求和，转化为一个单独的正弦型函数而诞生的。频率相同意味着相同，所以对于辅助角公式而言，为了方便起见，我们只讨论时的特殊情况。在这种情况下，对于一个正弦型函数，我们只有（增大的倍数）与（初相） 两个量需要讨论。
我们可以把看作大小，把看作角度。而角度和大小恰是极坐标系确定位置的两个要素。
辅助角公式与极坐标系有什么关系吗？
简化验证
简化问题，使，得
又因为，则
而在极坐标系中平面向量的加和即为
（如右图）
两者之间有异曲同工之妙。
由此可见，我们的猜想得到了一定的验证。
即与都只是单位向量，而两者是单位向量的变化幅度，是两向量和的模，则是和向量与横轴的夹角。
推广延伸
之前的验证只是对简化后的结果进行的，即。其实，这一结果具有普适性。
譬如
你可以自己找几个例子，多试几次。
注：这种几何意义同样适合推导诱导公式等部分三角函数恒等变换公式，但三角函数间乘法不等价于单位向量间点乘（即数量积）。
另外，该几何意义也与矩阵有部分联系。
即获得的向量和可以通过该矩阵计算
(以平面直角坐标系为基准，而非极坐标系)
疑问
为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是。而根据三角函数的周期性可知加上后函数值不变，况且在内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者
李善兰，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。出生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，浙江海宁人，是中国近代著名的数学、天文学、力学和植物学家，创立了二次平方根的幂级数展开式，研究各种三角函数，反三角函数和对数函数的幂级数展开式（现称“自然数幂求和公式”），这是李善兰也是19世纪中国数学界最重大的成就。
例1
求
的最大值
解：
设
则
由辅助角公式易得：
整理，得：
令
则
故
又有
易知：
例2
化简5sina-12cosa
解：5sina-12cosa
=13(5/13sina-12/13cosa)=13(cosbsina-sinbcosa)
=13sin(a-b)
其中，cosb=5/13,sinb=12/13
例3
π/6≤a≤π/4 ,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值
解：令f(a)=sin²a+2sinacosa+3cos²a
=1+sin2a+2cos²a
=1+sin2a+(1+cos2a)(降幂公式)
=2+(sin2a+cos2a)
=2+（√2）sin(2a+π/4)(辅助角公式)
因为7π/12≤2a+π/4≤3π/4
所以f(a)min=f(3π/4)=2+(√2)sin(3π/4)=3
记忆
很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，分母的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。