地球形状与重力场模型
地球形状与重力场模型
地球的真实形状是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。在大地测量等领域，通常有三个重要的参考面：
- 在其上进行测量的地球物理表面
- 在其上进行数学运算的旋转椭球面
- 大地水准面（即地球重力场的一个等位面）
对于不同的参考面，有不同的重力模型，这些模型也有各自的应用背景。
地球重力场的基本概念
在地球的大地水准体描述中，水准体表面是地球实际重力场的一个等位面，每一点的重力方向均与该点所在等位面相垂直。实际的重力方向一般称为天文垂线，或称真垂线。由于实际地球内部密度分布不均匀，并且表面凹凸不平，大地水准面不规则，因而实际重力的大小和方向也不规则。为了简化计算，人们希望使用一个简单的数学函数来拟合地球重力场，这个简单函数表示的重力场就称为正常重力场。
重力是地球万有引力和离心力共同作用的结果。在 P 点处，重力矢量 G 是引力矢量 F 和离心力矢量 F 的合力。
圆球假设下的地球重力
若将地球视为圆球体并且认为密度均匀分布，那么地球引力指向地心。根据牛顿万有引力定律，地球对其表面或外部单位质点的引力大小为：
$$
F = \frac{GM}{r^2}
$$
其中，G 为万有引力常数，M 为地球质量，记μ=GM为地心引力常数，r 为质点至地心的距离。
由于地球绕其极轴存在自转角速率ωie，使得与地球表面固连的单位质点受到离心力的作用，其大小为：
$$
F_c = \omega_{ie}^2 R \cos^2 L
$$
其中，R为圆球半径，L是地理纬度（在圆球假设中即为地心纬度）。重力是引力与离心力的合力，引力与离心力之间的夹角为 π -L ，根据余弦定理，在纬度为L的地方上P点的重力大小为：
实践表明，基于圆球假设的重力公式与实际椭球地球相比，在高纬度地区偏小将近 2mg，部分原因归结于实际椭球地球在高纬度地区半径缩小，实际引力增大。为了更精确地计算正常重力值，需要在椭球条件下进行重力推导。
旋转椭球假设下的地球重力
对于地球旋转椭球体，假设在椭球表面上重力矢量处处垂直于表面，也就是说，旋转椭球表面为重力的一个等位面。意大利人索密里安（Somigliana）于1929年经过严密推导，获得了旋转椭球体的正常重力公式：
$$
g_L = g_e \left(1 + \alpha \sin^2 L \right)
$$
其中，Re 和Rp分别为旋转椭球的赤道长半轴和极轴短半轴，ge 和 gp 分别为赤道重力和极点重力，gL 为地理纬度 L 处椭球表面的重力大小。对于赤道重力ge 和极点重力 gp，近似有：
最终简化结果如下：
重力与海拔高度的关系
在地球表面附近的重力场中，引力与离心力相比前者占主要成分，重力随海拔高度增加而减小，其变化规律与引力随距离增加而减小的规律近似相同。分析高度影响时，不妨将地球近似成圆球且质量集中在地心，地球对高度为 h 的单位质点的引力为：
对上式两边同时微分，得：
其中：
综合式维度和海拔高度来看，可求得地球表面附近正常重力随纬度和高度变化的实用计算公式，即在大地坐标处的重力值，记为：
参考文献
捷联惯导算法与组合导航讲义