巴赫《逆行卡农》：音乐与数学的完美融合
巴赫《逆行卡农》：音乐与数学的完美融合
巴赫的《逆行卡农》是音乐与数学完美结合的典范之作。它不仅展现了巴赫在音乐结构和和声上的卓越技巧，还与拓扑学中的莫比乌斯带产生了神秘的联系。本文将带你深入了解卡农音乐的种类、特点，以及巴赫《逆行卡农》与莫比乌斯带的奇妙关系。
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这是通识选修课《社会科学与数学》第八讲《音乐与数学》的第四节，欣赏巴赫的《逆行卡农》，以及它与莫比乌斯带的神秘关系。
第八讲《音乐与数学》
第四节 巴赫《逆行卡农》
一、卡农
卡农（Canon）是复调音乐的一种，其原意为“规律”。同一旋律以同度或五度等不同的高度在各声部先后出现，造成此起彼落连续不断的模仿，即严格的模仿对位。卡农的基本点是一个单一的主题与它自己相伴而奏。由加入的各个不同声部分别唱出主题的“副本”。但做这种事可以有许多种方式。
卡农中最简单的方式是轮唱，像《保卫黄河》，第一个声部先唱出主题，相隔规定的某段时间之后，这一主题的“副本”在完全一样的调上进入。在这第二个声部进行到规定的同样长的时间之后，第三个声部进入，唱出这个主题，以此类推。对大部分的主题来说，这样演唱是无法与它本身相和谐的。
为了使一个主题能成为一支卡农的主题，它的每个音符必须能起两种（三种，或四种）作用：首先它得是旋律的一部分，其次它必须是这同一旋律的和声的一个部分。比如说，在包含有三个卡农式声部的曲子里，主题的每一个音符除了要构成曲调，还必须在两种不同的方式上构成和声。
这样，在卡农曲中，每个音符都有着一个以上的音乐意义，而听者的耳朵和大脑根据前后的音调自动地领会其确切的意义。
当然还有更复杂的卡农。按由简入繁的顺序，第一种更复杂的卡农是：主题的种种“副本”不仅在时间上，而且在音高上互相交错。也就是说，第一声部可能是在C调上唱出主题，同第一声部相交错的第二声部可能是在比C调高五度的G调上唱出同一主题。与前两个声部相交错的第三声部可能在比G调高五度的D调上唱出，以此类推。
下一种更复杂的卡农是：各个声部的速度不同，比如说，第二个声部的速度可能是第一声部的二倍或一半。前者叫做减值，后者叫做增值（因为主题好像是在收缩或者扩展）。
这还不算完。卡农构成中下一个更复杂的阶段是主题转位，意思是产生这样一个旋律，每当原来的主题跳上时，它就跳下，两者所越过的半音数目相同。这是种相当奇特的旋律转换，但是，如果一个人听过很多转位的主题，就会觉得这种事挺自然了。
巴赫就特别喜欢转位，井经常在他的作品中使用——《音乐的奉献》也不例外。作为转位的一个简单例子，可以试着唱唱《好国王温赛拉斯》（Good King Wenceslas）这支曲子。当它的原主题和转位主题一起唱出时，高低相差八度，前后相差两拍，这就是一支相当悦耳的卡农曲了。最后，这些“副本”中最玄奥的是逆行：一主题依一定时间从后往前奏出。使用了这种技巧的卡农，俗称为“螃蟹卡农”，这是因为螃蟹那奇特的运动方式。
不用说，巴赫《音乐的奉献》中也包含有一支螃蟹卡农（Crab Canon on a M bius Strip）。注意，不论是哪一种“副本”，都保持有原主题的所有信息，也就是说，从任何一种副本中都可以完全恢复原主题。这种保存信息的转换经常被称作同构。
二、逆行卡农
逆行卡农(crab cannon, canon cancrizans) 是两个同时播放, 并且是互相相反于对方的声部, 类似于回文。逆行卡农原本是指一种由一条旋律从尾向头逆向模仿另一旋律所构成的卡农曲 (例如:FABACEAE <=> EAECABAF)。
约翰·塞巴斯蒂安·巴赫所作的《音乐的奉献》中有其中一个出名的例子, 叧外也有一首逆行倒影卡农(Quaerendo invenietis), 不仅两条旋律互相逆行,音高也是互相相反的。非音乐内容(non-musical contexts)这个用语被侯世达所著的哥德尔、埃舍尔、巴赫一书所普及。
古希腊哲学家毕达哥拉斯就认为，音乐的和谐来自某个距离比率的数字。他在肠弦末端绑上重物，发现重量比是2：1时，肠弦发出了八度音程；重量比是3：2时，得五度音程……
巴赫将这种音程的和谐关系运用到实践中。他的1000多首作品中，穷尽了对位法的组合，充满了规则和秩序。规则不是教条，秩序来自热忱。《哥德堡变奏曲》中，声部间回转、分离、穿插、偶遇、对称、并流，每一细节都静稳妥帖，每一褶皱与镂痕都纤毫毕现。他的作品中，一个音符都不能改。
（图片1）“音乐界的数学家”巴赫
巴赫因此被誉为音乐界的数学家。
三、巴赫《音乐的奉献》——《逆行卡农》
有人说，巴赫的音乐具有“逻辑性”，如果没有过硬的数学基础与音乐知识功底，不能体会到巴赫音乐的美感。
下面是一个关于“巴赫大宇宙”或“巴赫大循环”的音乐视频《音乐的奉献》——《逆行卡农》。
这篇网文里有这个视频：
https://www.sohu.com/a/156926813_537824
视频中的《逆行卡农》是指由一条旋律从尾向头逆向模仿另一旋律所构成的卡农曲。也就是说，这两个声部要在相互相反于对方声部的情况下同时播放。
但可以将它写在一个神奇的纸带上，即意味着如果将这两个声部结束后再倒回去，就能无穷无尽地进行下去。因此，许多乐友将这段音乐叫做“巴赫大宇宙”或“巴赫大循环”。
这个看似简单的纸带拥有一个奇妙的特质：一般的纸张都有正、反两面，但它却只有一面。因此，无论你从纸上哪一点往前涂颜色，最终都会回到起点，而且各处都会涂满同一种颜色，不像一般纸环，可以在正、反两面涂上不同的颜色。
这就是数学里有名的莫比乌斯带。
（图片3）螃蟹卡农
《音乐的奉献》（The Musical Offering，BWV 1079）是约翰·塞巴斯蒂安·巴赫（Johann Sebastian Bach）晚期的作品，创作于1747年。这部作品不仅展示了巴赫对复调音乐的深刻理解，还体现了他在音乐结构和和声上的卓越技巧。
巴赫在这部作品中使用了多种卡农形式，包括逆行卡农，这是通过对位声部的前后倒序来创造独特的音乐效果。
1747年，巴赫受邀前往柏林，为普鲁士国王腓特烈大帝献艺。在这次演出中，巴赫根据国王所给的主题即兴创作了一首寻求曲（Ricercare），赢得了大帝的高度赞赏。这次经历激发了巴赫的创作灵感，促使他在回到莱比锡后完成了《音乐的奉献》这部作品，并将其献给了国王。
《音乐的奉献》由一系列复杂的卡农形式构成，展现了巴赫对音乐结构的精湛掌握。作品包括三声部寻求曲、各种卡农曲以及卡农型赋格等。特别是其中的逆行卡农，通过两个对位声部的倒序排列，创造出一种神秘而引人入胜的音乐效果。
《逆行卡农》是《音乐的奉献》中的一个重要组成部分，其特点在于两个对位声部实际上是同一旋律的前后倒序。这种创作手法不仅展示了巴赫对复调音乐的深刻理解，还体现了他在音乐结构和和声上的卓越技巧。
逆行卡农的创作手法要求演奏者具有极高的音乐理论知识和即兴创作能力。巴赫通过这种方式，不仅展示了音乐的复杂性，还赋予了作品独特的美感和深度。
逆行卡农带来的音乐效果是复杂而引人入胜的。通过对位声部的倒序排列，作品创造出一种神秘而和谐的感觉，使听众仿佛置身于一个充满魔法的音乐世界。
四、巴赫
约翰·塞巴斯蒂安·巴赫(Johann Sebastian Bach，1685年3月21日-1750年7月28日)，巴洛克时期的德国作曲家，杰出的管风琴、小提琴、大键琴演奏家，被普遍认为是音乐史上最重要的作曲家之一，并被尊称为“西方近代音乐之父”，也是西方文化史上最重要的人物之一。
（图片4）巴赫
巴赫出生于德国中部图林根州小城艾森纳赫的一个音乐世家，在有生之年是一位著名的宫廷乐长，在德国莱比锡圣多马教堂度过了最后27年的时间。
（图片5）巴赫故居
巴赫把西欧不同民族的音乐风格融为一体。他集意大利、法国和德国传统音乐中的精华，曲尽其妙，珠联璧合，天衣无缝。
巴赫自己在一生中并未享有盛名，而且在死后50年中就已被世人遗忘。但是在近一个半世纪中他的名气却在不断地增长，一般认为他是西方音乐史中最伟大的两三位作曲家之一，而且有些人认为他是其中最伟大的作曲家。
巴赫被誉为复调音乐的大师，他的作品在音乐史上占有重要地位。《音乐的奉献》和《赋格的艺术》被音乐史学家认为是复调音乐的巅峰之作，展示了巴赫在音乐结构和和声上的卓越技巧。
巴赫的作品不仅在音乐史上占有重要地位，还对后来的音乐发展产生了深远影响。他的作品展示了复调音乐的复杂性和深度，成为后来音乐家学习和借鉴的重要源泉。
（图片6）巴赫手稿
巴赫的音乐作品不仅在音乐史上占有重要地位，还对后来的音乐发展产生了深远影响。他的作品展示了复调音乐的复杂性和深度，成为后来音乐家学习和借鉴的重要源泉。
总之，《音乐的奉献》不仅是巴赫音乐生涯中的一个重要里程碑，也是复调音乐史上的巅峰之作。通过其中的逆行卡农等复杂形式，巴赫展示了他在音乐结构和和声上的卓越技巧，为后世留下了宝贵的音乐遗产。
五、莫比乌斯与莫比乌斯带
奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（August FerdiUs MobiUs，1790－1868年）是德国数学家、天文学家。1790年11月17日生于德国瑙姆堡附近的舒尔普福塔。1808年入莱比锡大学学习法律，后转攻数学、物理和天文。1814年获博士学位，1816年任副教授，1829年当选为柏林科学院通讯院士，1844年任莱比锡大学天文与高等力学教授。1868年9月26日卒于莱比锡。
（图片7）莫比乌斯
莫比乌斯的科学贡献涉及天文和数学两大领域。在数学方面,首先是他对19世纪射影几何学的影响。莫比乌斯发展了射影几何学的代数方法。他在《重心计算》（1827年）一书中，创立了代数射影几何的基本概念——齐次坐标。在同一著作中他还揭示了对偶原理与配极之间的关系，并对交比概念给出了完善的处理。
他较早对拓扑学作深入的探讨并给出恰当的提法。此外，莫比乌斯对球面三角等其它数学分支也有重要贡献。
1858年，莫比乌斯发现：把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条，具有魔术般的性质。
（图片8）莫比乌斯带
因为，普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。
后人把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带，称为“莫比乌斯带”。
拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，如同上页图那样粘成一个莫比乌斯带。现在像图中那样用剪刀沿纸带的中央把它剪开。你就会惊奇地发现，纸带不仅没有一分为二，反而像图中那样剪出一个两倍长的纸圈。
有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。为了让读者直观地看到这一不太容易想象出来的事实，我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了。得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。
“莫比乌斯带”在生活和生产中已经有了一些用途。例如，用皮带传送的动力机械的皮带就可以做成“莫比乌斯带”状，这样皮带就不会只磨损一面了。如果把录音机的磁带做成“莫比乌斯带”状，就不存在正反两面的问题了，磁带就只有一个面了。
“莫比乌斯带”正好满足了上述要求。
“莫比乌斯带”是一种拓扑图形,什么是拓扑呢？拓扑所研究的是几何图形的一些性质，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。换句话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有一个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成为一个阿拉伯数字8。因为不把圈上的两个点重合在一起，圈就不会变成8,"莫比乌斯带"正好满足了上述要求。