概率论基本概念与性质详解
概率论基本概念与性质详解
概率论是数学的一个重要分支，主要研究随机现象的数量规律。本文将系统地介绍概率论的基本概念与性质，包括随机事件、概率的定义与性质、古典概型与几何概型、条件概率以及随机事件的独立性等内容。通过本文的学习，读者将能够掌握概率论的基础知识，并能够运用这些知识解决实际问题。
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机事件
一、随机试验与样本空间
随机试验（E）：
特点：可重复性、可预知性、不确定性
示例：抛硬币、掷骰子、测量灯泡寿命
样本空间（Ω）：
所有可能结果的集合，记为 Ω
样本点：Ω 中的单个结果，记为 ω
示例：
抛一枚骰子：Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
观测灯泡寿命：Ω = {t | 0 ≤ t < +∞}
样本空间分类：
离散样本空间（有限或可列无限）
连续样本空间（不可列无限）
二、随机事件的概念
事件：样本空间的子集，用大写字母表示（如 A, B）。
基本事件：仅含一个样本点的事件
必然事件（Ω）：一定发生的事件
不可能事件（∅）：一定不发生的事件
事件关系：
包含（A ⊂ B）：A 发生必导致 B 发生
相等（A = B）：A ⊂ B 且 B ⊂ A
互斥（AB = ∅）：A 与 B 不能同时发生
对立（A 与 \overline{A}）：A 与 \overline{A} 必发生其一
事件运算：
并（A ∪ B）：A 或 B 至少发生一个
交（A ∩ B 或 AB）：A 与 B 同时发生
差（A - B）：A 发生但 B 不发生
德摩根律：
A∪B‾=A‾∩B‾,A∩B‾=A‾∪B‾A∪B=A∩B,A∩B=A∪B
§1.2 概率的定义与性质
一、概率的统计定义
频率：事件 A 在 n 次试验中出现的频率为 fn(A)=Nn(A)nfn (A)=nNn (A)
频率稳定性：当 n → ∞ 时，fn(A)fn (A) 趋于稳定值，即概率 P(A)P(A)。
二、概率的公理化定义
概率 P(A)P(A) 满足：
非负性：0 ≤ P(A) ≤ 1
规范性：P(Ω) = 1
可列可加性：若 A₁, A₂, ... 互斥，则 P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)P(⋃i=1∞ Ai )=∑i=1∞ P(Ai )
三、概率的性质
不可能事件概率：P(∅) = 0
有限可加性：若 A₁, A₂, ..., Aₙ 互斥，则 P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)P(⋃i=1n Ai )=∑i=1n P(Ai )
减法公式：P(A−B)=P(A)−P(AB)
加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
§1.3 古典概型与几何概型
一、古典概型
定义：
样本空间有限
每个样本点等可能
概率计算公式：
P(A)=A 中样本点数 / Ω 中样本点数
例题：
例1：掷两枚骰子，点数之和为 7 的概率
正确解法：Ω 含 36 个样本点，A 含 6 个样本点 → P(A)=636=16P(A)=366 =61
二、几何概型
定义：
样本空间为连续区域
每个子区域等可能
概率计算公式：
P(A)=A 的度量（长度/面积/体积）Ω 的度量P(A)=Ω 的度量A 的度量（长度/面积/体积）
例题：
例2：在区间 (0,1) 内任取两数 x 和 y，求 x + y < 1.2 的概率
解：区域面积比 P(A)=1725P(A)=2517
三、总结
二项分布就是描述n重伯努利试验中成功次数的概率分布
§1.4 条件概率
一、条件概率定义
公式：
P(B∣A)=P(AB)P(A),P(A)>0
性质：
P(∅∣A)=0, P(Ω∣A)=1
乘法公式：P(AB)=P(A)P(B∣A)
二、全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式：
应用场景：事件 B 的发生依赖于多个互斥原因 A₁, A₂, ..., Aₙ
贝叶斯公式：
应用场景：已知结果 B，反推原因 Aᵢ 的概率
例题：
例3：某工厂次品率问题
全概率计算次品率：P(B)=0.013P
贝叶斯计算各厂次品来源概率：P(A1∣B)≈0.462
§1.5 随机事件的独立性
一、两个事件的独立性
定义：
P(AB)=P(A)P(B)
性质：
若 A 与 B 独立，则 A 与 \overline{B}、\overline{A} 与 B、\overline{A} 与 \overline{B} 也独立
二、多个事件的独立性
定义：
n 个事件相互独立需满足所有子集事件的独立性
应用：
独立事件至少发生其一的概率：
P(A1∪A2∪⋯∪An)=1−∏i=1n(1−P(Ai))P(A1 ∪A2 ∪⋯∪An )=1−i=1∏n (1−P(Ai ))
三、n 重伯努利试验
定义：独立重复进行 n 次试验，每次试验结果只有成功或失败
概率公式：
附：关键公式总结
1. 互不相容
公式：
说明：
如果事件 A 和 B 互不相容（互斥），则它们不能同时发生，即它们的交集为空集。
2. 加法公式
公式：
说明：
计算两个事件 A 和 B 至少有一个发生的概率。如果 A 和 B 互不相容，则 P(A∩B)=0，公式简化为：
3. 减法公式
公式：
说明：
计算事件 A 发生且事件 B 不发生的概率。如果 A 和 B 互不相容，则 P(A∩B)=0，公式简化为：
4. 条件概率公式
公式：
说明：
条件概率 P(B∣A) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。
5. 全概率公式
公式：
设 A1 ,A2 ,…,An 是样本空间的一个划分（即两两互斥且并集为全集），则对于任意事件 B：
说明：
全概率公式用于计算复杂事件 B 的概率，通过将其分解为若干互斥事件的组合来简化计算。
6. 贝叶斯公式
公式：
说明：
贝叶斯公式用于在已知事件 B 发生的条件下，反推事件 Ai 发生的概率。它是条件概率的逆向应用。
7. 相互独立公式
公式：
两个事件 A 和 B 相互独立：
多个事件 A1 ,A2 ,…,An 相互独立：（不是两两相互独立）
说明：
如果事件 A 和 B 相互独立，则一个事件的发生不影响另一个事件的概率。
8. n重伯努利公式（二项分布）
公式：
设 X 表示在 n 次独立重复试验中成功的次数，则 X 服从二项分布：
其中：
n 是试验次数，
p 是每次试验成功的概率，
(kn ) 是组合数，表示从 n 次试验中选择 k 次成功的方式数。
说明：
二项分布用于描述n重伯努利试验中成功次数的概率分布。
全概率与贝叶斯考大题，剩下的考小题