一篇文章带你区分:极值点,最值点,驻点,稳定点,拐点,零点,鞍点
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一篇文章带你区分:极值点,最值点,驻点,稳定点,拐点,零点,鞍点
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新浪网
1.
https://blog.sina.com.cn/s/blog_4276e0b7010309zo.html
在数学的学习中,极值点、最值点、驻点、稳定点、拐点和零点是几个容易混淆的重要概念。本文将通过定义解析和实例对比,系统梳理它们的区别与联系。
一、极值点
准确定义
极值点是指函数在某一点附近取得最大值或最小值时的横坐标。具体来说,如果存在一个邻域,使得函数在该邻域内的所有点的函数值都小于或等于(大于或等于)该点的函数值,则该点称为极大值点(极小值点)。
例如:上图中,x1,x3,x5为极大值点;x2,x4为极小值点。
几点说明
- 极值点不是点,是函数取得极大值或极小值时的横坐标。
- 极值反应的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质。
- 几何意义上讲,极值出现在函数的波峰波谷上。
- 极值点不关心函数是否可导。例如:y=|x|在x=0处不可导,但0仍是函数的极小值点。
- 若函数可导,则有极值点处导数为0. 反之,导数为0的点不一定是极值点。例如:y=x³,在x=0处导数为0,但不是极值点。
二、最值点
准确定义
最值点是指函数在整个定义域内取得最大值或最小值时的横坐标。具体来说,如果函数在定义域内的所有点的函数值都小于或等于(大于或等于)该点的函数值,则该点称为最大值点(最小值点)。
例如:上图中,x3为最大值点;x2为最小值点。
几点说明
- 最值反应的是函数在整个定义域内的全局性质,因此最值可能出现在极值点处或区间端点处。
- 几何意义上讲,最值出现在函数的最高点或最低点上。
- 最值处不一定是极值,极值处也不一定是最值。
三、驻点(稳定点)
准确定义
驻点,也称稳定点。是指可导函数中,一阶导数等于0的点。
几点说明
- 驻点不是点,是函数一阶导等于0时的横坐标。
- 驻点是定义在可导函数的基础上,因此不可导函数一定没有驻点。
- 几何意义上讲,驻点处的切线与x轴平行。
- 对于可导函数,极值点一定是驻点,驻点不一定是极值点。例如:y=x³,在x=0处一阶导数为0,是驻点,但不是极值点。
四、拐点
准确定义
如果函数f(x)经过x0时,曲线的凸凹性发生改变,则称点(x0,f(x0))为函数f(x)的拐点。
几点说明
- 拐点就是一个坐标点,不是横坐标!!!
- 拐点处的一阶导数不一定为0.
- 若一阶导等于0,则该点为拐点中的驻点,简称为鞍点;
- 若一阶导不等于0,则该点为拐点中的非驻点。
例如:y=x³,在x=0处一阶导数为0,是驻点,但也是拐点,因此,也称为鞍点。
- 设函数二阶导存在,则函数拐点处的二阶导一定为0. 反之,二阶导为0的点不一定是拐点。
- 函数拐点可能的位置:
- 二阶导为0的点或二阶导不存在的点。
五、零点
准确定义
对于函数f(x),使得f(x)=0的实数x为函数的零点。
几点说明
- 零点不是点,是曲线与x轴交点的横坐标。
- 如下三个命题等价:
- 函数有零点;
- 方程有根;
- 曲线与x轴有交点。
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