一篇文章带你区分：极值点，最值点，驻点，稳定点，拐点，零点，鞍点

一篇文章带你区分：极值点，最值点，驻点，稳定点，拐点，零点，鞍点

引用

新浪网

1.

https://blog.sina.com.cn/s/blog_4276e0b7010309zo.html

在数学的学习中，极值点、最值点、驻点、稳定点、拐点和零点是几个容易混淆的重要概念。本文将通过定义解析和实例对比，系统梳理它们的区别与联系。

一、极值点

准确定义

极值点是指函数在某一点附近取得最大值或最小值时的横坐标。具体来说，如果存在一个邻域，使得函数在该邻域内的所有点的函数值都小于或等于（大于或等于）该点的函数值，则该点称为极大值点（极小值点）。

例如：上图中，x1，x3，x5为极大值点；x2，x4为极小值点。

几点说明

1. 极值点不是点，是函数取得极大值或极小值时的横坐标。
2. 极值反应的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。
3. 几何意义上讲，极值出现在函数的波峰波谷上。
4. 极值点不关心函数是否可导。例如：y=|x|在x=0处不可导，但0仍是函数的极小值点。
5. 若函数可导，则有极值点处导数为0. 反之，导数为0的点不一定是极值点。例如：y=x³，在x=0处导数为0，但不是极值点。

二、最值点

准确定义

最值点是指函数在整个定义域内取得最大值或最小值时的横坐标。具体来说，如果函数在定义域内的所有点的函数值都小于或等于（大于或等于）该点的函数值，则该点称为最大值点（最小值点）。

例如：上图中，x3为最大值点；x2为最小值点。

几点说明

1. 最值反应的是函数在整个定义域内的全局性质，因此最值可能出现在极值点处或区间端点处。
2. 几何意义上讲，最值出现在函数的最高点或最低点上。
3. 最值处不一定是极值，极值处也不一定是最值。

三、驻点（稳定点）

准确定义

驻点，也称稳定点。是指可导函数中，一阶导数等于0的点。

几点说明

1. 驻点不是点，是函数一阶导等于0时的横坐标。
2. 驻点是定义在可导函数的基础上，因此不可导函数一定没有驻点。
3. 几何意义上讲，驻点处的切线与x轴平行。
4. 对于可导函数，极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点。例如：y=x³，在x=0处一阶导数为0，是驻点，但不是极值点。

四、拐点

准确定义

如果函数f(x)经过x0时，曲线的凸凹性发生改变，则称点（x0，f(x0)）为函数f(x)的拐点。

几点说明

1. 拐点就是一个坐标点，不是横坐标！！！
2. 拐点处的一阶导数不一定为0.

• 若一阶导等于0，则该点为拐点中的驻点，简称为鞍点；
• 若一阶导不等于0，则该点为拐点中的非驻点。
  例如：y=x³，在x=0处一阶导数为0，是驻点，但也是拐点，因此，也称为鞍点。

3. 设函数二阶导存在，则函数拐点处的二阶导一定为0. 反之，二阶导为0的点不一定是拐点。
4. 函数拐点可能的位置：

• 二阶导为0的点或二阶导不存在的点。

五、零点

准确定义

对于函数f(x)，使得f(x)=0的实数x为函数的零点。

几点说明

1. 零点不是点，是曲线与x轴交点的横坐标。
2. 如下三个命题等价：

• 函数有零点；
• 方程有根；
• 曲线与x轴有交点。