函数知识点总结

函数知识点总结

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/K_Xin/article/details/105999288

函数

函数f：对象转化规则。$f(x)$：函数f应用于对象x
区间表示法：$[a, b]$

1. 垂线检验函数

如果存在落在x轴的垂线和图像相交多于一次，那么该图像不是函数图像。

2. 求定义域

(1) 分母不为0；
(2) 负数不能取平方根；
(3) 负数和零不能取对数

3. 求值域

画出函数图像，想象从图像左右两侧朝y轴水平射入两束光纤，曲线会在y轴左右两侧留下影子，值域就是影子的并集。

例：$F(x) = x^2，x ∈ [-2，1]$

左侧影子的范围是$[0，4]$，右侧影子的范围是$[0，1]$，值域为并集$[0，4]$

反函数

反函数$f^{-1}$：如果$f(x) = y$，那么$f^{-1}(y) = x$。

(1)$f$值域的任意$y$，只有一个$x$值满足$f(x) = y$
(2)$f^{-1}$的定义域是$f$的值域，$f^{-1}$的值域是$f$的定义域

1. 水平线检验反函数

如果每一条水平线和一个函数的图像相交至多一次，那么该函数有一个反函数。

2. 求反函数

(1) 解出$x$：$f(x) = x^3$即$y = x^3$，所以$x=\sqrt[3]{y}$即$f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$
(2) 作图$y = x$：反函数图像为原函数图像关于$y = x$的镜像。

3. 限制定义域

如果水平线检验失败证明没有反函数，可以限制函数的定义域（即删除部分曲线）通过水平线检验。

常见函数及图像

1. 线性函数

(1) 点斜式：$y-y_0 = m(x-x_0)$
(2) 两点式：$y-y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$

2. 多项式函数

(1)$p(x) = x^n$
(2)$p(x) = a_nx^n+...+a_2x^2+a_1x^1+a_0$

二次函数$p(x) = ax^2+bx+c$，其解为$\frac{-b±\sqrt{-b^2-4ac}}{2a}$或配方

3. 有理函数

4. 指数函数和对数函数

$y=2^x$满足水平线检验，所以反函数$y=log_2(x)$

5. 绝对值函数

$f(x)=|x|= \begin{cases} x& \text{x≥0}\ -x& \text{x＜0} \end{cases}$

函数基本特性

1. 复合、奇函数和偶函数

复合函数：$f(x) = h(g(x)) <=> f = h ○ g$，右移：$f(x-a)$，左移：$f(x+a)$

奇函数：$f(-x)=-f(x)$，关于原点180°点对称，奇·奇 = 偶，奇·偶 = 奇

偶函数：$f(-x)=f(x)$，关于y轴镜面对称，偶·偶 = 偶

2. 单调函数

设函数$f(x)$的定义域为$D$，$\forall x_1，x_2 ∈ D$，且$x_1<x_2$：

(1) 若$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数$f(x)$为区间$D$的单调递增函数
(2) 若$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数$f(x)$为区间$D$的单调递减函数

3. 周期函数

设函数$f(x)$的定义域为$D$，$\exists$正数$T$，$\forall x∈ D$与$(x±T) ∈ D$：

$f(x+T) = f(x)$

恒成立，则该函数为周期函数，且最小的正数$T$为函数$f(x)$的最小正周期

4. 有界函数

有界：设函数$f(x)$的定义域为$D$，$\exists$正数$M$，$\forall x∈ D$，恒有$|f(x)| ≤ M$

无界：设函数有界，取反例证明无界

三角函数

1. 弧度和三角函数

弧度 = $\frac{π}{180} * 角度$

$sinθ=\frac{对边}{斜边}\qquad cosθ=\frac{邻边}{斜边}\qquad tanθ=\frac{对边}{邻边}$

$csc=\frac{1}{sinθ}\qquad secθ=\frac{1}{cosθ}\qquad cotθ=\frac{1}{tanθ}$

2. 三角函数的值

当$x∈ [0，π/2]$时，

当$x∈ [0，2π]$时，

$sinθ=\frac{y}{r}\qquad cosθ=\frac{x}{r}\qquad tanθ=\frac{y}{x}$

画出象限图表，标出角的位置射线及找出射线与$x$轴间最小的角，查上表可知该角的三角函数值，最后根据射线所在象限及使用的三角函数决定是否添加符号。

当$x∉ [0，2π]$时，弧度$±2nπ$使其限定于$[0，2π]$再计算三角函数值。

3. 三角函数的图像

奇函数：$y=sinx\qquad y=cscx$

偶函数：$y=cosx\qquad y=secx$

奇函数：$y=tanx\qquad y=cotx$

4. 三角恒等式

(1)$tanx = sinx/cosx$，$cotx = cosx/sinx$

(2)$sin^2x + cos^2x = 1$，两边同除$\cos^2x$，$1+tan^2x=sec^2x$

三角函数 (x) = 互余三角函数(π/2-x)

$sinx = cos(π/2-x)$，$tanx = cot(π/2-x)$，$secx = csc(π/2-x)$

求和与倍角公式

(1)$\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$，$\sin(2x)=2sinxcosx$

(2)$\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$，$\cos(2x)=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$

(3)$\sin^2x = (1-\cos 2x)/2$，$\cos^2x = (1+\cos 2x)/2$

和差化积

$\sin \alpha+\sin \beta = 2\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$，$\cos \alpha+\cos \beta = 2\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$

积化和差

• $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$
• $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$

数列前 $n$ 项和

• $\sum_{1}^{n} k=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$
• $\sum_{1}^{n} k^2=1+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)}{2}·\frac{(2n+1)}{3}$
• $\sum_{1}^{n} k^3=1+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n(n+1)}{2}·\frac{n(n+1)}{2}$
• $\sum_{1}^{n} k(k+1)=12+23+3*4+...+n(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}·\frac{(2n+4)}{3}$
• $\sum_{1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{12}+\frac{1}{23}+\frac{1}{3*4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}$

阶乘

• $n!=123*...*n$，规定 $0!=1$
• $(2n)!!=246*...(2n)=2^nn!$
• $(2n+1)!!=135*...*(2n-1)$

因式分解

• $(a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2$
• $(a-b)^3=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2$
• $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
• $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

二项式定理

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^{k}a^{k} b^{n-k} = a^n +na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^{2}+...+nab^{n-1}+b^n$

参考资料

《普林斯顿微积分读本》