卷积及其在卷积神经网络中的应用
卷积及其在卷积神经网络中的应用
卷积是一种在多个领域都有广泛应用的数学运算，从复变函数到信号处理，再到现代的深度学习，卷积的概念贯穿其中。本文将从数学角度深入探讨卷积的原理，并重点介绍其在卷积神经网络（CNN）中的应用，帮助读者理解这一重要概念及其在现代技术中的实际应用。
卷积的数学理论
卷积定理
卷积定理是理解卷积的关键，它表明时域的卷积等于频域相乘。具体来说，时域信号可以分解成一串不同频率正弦信号的叠加。根据卷积的分配率，两个时域信号的卷积最终可以展开成两两正弦信号的卷积的和。由于不同频率的正弦信号的卷积为0，所以最终只剩下相同频率的正弦信号的卷积。而卷积的结果就是频率不变，幅度相乘。在频域里边就表现为直接相乘。
为了更好地理解这些问题，我们先给出两个典型的应用场景：
- 信号分析中的卷积：
假设我们有一个输入信号f(t)和一个系统的单位冲击响应g(t)。卷积操作可以表示为f(t)g(t)，其中""表示卷积。卷积的结果就是输出信号。
想象一下，我们将输入信号f(t)和冲击响应g(t)都展开成一系列脉冲（或点），然后进行叠加。具体来说，对于f(t)中的每一个点，我们都将其乘以g(t)中对应的点，然后将所有的乘积加起来。这个过程就得到了输出信号。
这里以离散信号为例：
接着对g(t)进行g(-t)操作，也就是翻转，关于y轴对称。
接着计算T时刻的卷积时，要维持的约束就是：t+ (T-t) = T，也就是将g(-t往右边移动)，找到信号直接重叠的部分
然后进行叠加（是相加不是相乘），和线性时不变系统一样
- 图像处理中的卷积：
在图像处理中，卷积核g(x,y)通常是一个二维矩阵，用于与输入图像f(x,y)进行卷积操作。这个操作可以看作是将卷积核在输入图像上滑动，然后在每个位置上都计算卷积核和图像对应区域的乘积之和。
例如，如果我们使用一个模糊卷积核，那么输出图像将会得到模糊效果；如果我们使用一个边缘检测卷积核，那么输出图像将会得到边缘强化效果。
卷积神经网络详解
卷积神经网络（CNN）由三个主要部分组成：
卷积层
卷积本来就是把两个函数合体来得出一个新函数的运算，自然可以做成滤波器（也叫卷积核，filter），不过值得注意的是图像处理中的卷积核是不需要翻转的（但是一般为了演示卷积这个按照数学公式进行操作时，用翻转便于理解---f(x)→f(-x)，绕y轴对称一下）。
左边是输入层（input layer），中间是卷积核，输出得到的是特征图（feature map） ，每次卷积操作的一个步骤例如左边图上9个点叫做感受野
为了保证输入输出维度一致，会给原始图像矩阵周围补上零，像这样：
刚好找到一个动图，5×5的矩阵在3×3的卷积核卷积下，步长设为1，则得到的矩阵是3×3的
延x轴或者y轴滑动，就可以求出图像中各个位置的卷积，其输出结果是处理以后的图像（即经过平滑、边缘提取等各种处理的图像）。
通过这一步就可以提取出图像的特征。
池化层（pooling）
因为即使做完了卷积，图像仍然很大（因为卷积核比较小），所以为了降低数据维度，就进行下采样。
忽略掉个别像素的偏差，其意义不光能降低数据维度，降低训练参数和运算量，同时还能避免所谓的过拟合。
全连接层
全连接层也就是传统的神经网络该做的事了
那神经网络又是什么？
感觉他有点像一元的线性回归方程，也类似与非线性回归（但它是针对高阶，又像泰勒展开一样），其实说白了也就是每一个输入都有不同的权重w，然后进行累加，加入偏置b，就得到线性方程y=kx+b。
但是神经网络这么高级的东西，怎么可能这么简单，科学家们在后续加入激活函数（也就感知机）加入非线性。我的理解是，如果不加入激活函数，那么
常用的非线性激活函数有sigmoid、tanh、relu等等，前两者sigmoid/tanh比较常见于全连接层，后者relu常见于卷积层。 经过事实证明还是，Relu函数最好用，也最简单。
这个也叫做前向传播，相应的也有反向传播（自己去搜，也就是计算残差率，学习率，模型评估）
用visio画的神经网络图
经过卷积层和池化层降维过的数据，全连接层才能”跑得动”，不然数据量太大，计算成本高，效率低下。
以上就是卷积神经网络入门的知识了，事实上，这已经是很早就流行的东西了，现在的科研论文基本都是在此基础上进行优化改进，调整参数，权重，模型等等，亦或是用在很多未知领域上，后续就是如何搭建和训练自己的卷积神经网络，在后文会给出代码。
最后，卷积神经网络的运用，不用多说，随着深度学习理论的提出和数值计算设备的改进，卷积神经网络得到了快速发展，并被大量应用于计算机视觉（图片分类，目标定位检测，图像分割）、自然语言处理等领域 ，我想，未来将在机械工程（故障诊断，无人驾驶），信号处理，核工程，医学影像等领域大放异彩。