函数的间断点详解

函数的间断点详解

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/baishuiniyaonulia/article/details/78555916

设$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域中有定义，在这个前提下，如果$f(x)$有一下三种情形之一：

1. 在$x=x_0$处没有定义；
2. 虽在$x=x_0$处有定义，但$\lim_{x \to x_0}f(x)$不存在；
3. 虽在$x=x_0$处有定义，且$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在，但$\lim_{x \to x_0}f(x) \neq f(x_0)$，

那么$f(x)$在点$x_0$处为不连续，而点$x_0$称为函数$f(x)$的间断点。

函数间断点通常分为两大类：第一类间断点和第二类间断点，左右极限都存在的间断点称为第一类间断点，其它的则都是第二类间断点。

函数间断点通常有以下几种常见类型：

1. 无穷间断点；
2. 震荡间断点；
3. 可去间断点；
4. 跳跃间断点。

1. 无穷间断点

定义：函数$f(x)$在$x_0$处没有定义，且在$x_0$处的左右极限至少有一个不存在，则$x_0$为$f(x)$的无穷间断点。

例：$f(x) = \tan x$在$x = \frac{\pi}{2}$处没有定义，所以$x = \frac{\pi}{2}$为$f(x) = \tan x$的间断点。

$f(x) = \tan x$在$x = \frac{\pi}{2}$处既没有左极限也没有右极限，所以$x = \frac{\pi}{2}$为$f(x) = \tan x$的无穷间断点。

2. 震荡间断点

定义：函数$f(x)$在$x_0$处没有定义，且在$x$趋近于$x_0$时其函数值在某个范围内无限次变动，则$x_0$为$f(x)$的震荡间断点。

例：$f(x) = \sin \frac{1}{x}$在$x = 0$处没有定义，所以$x = 0$为$f(x) = \sin \frac{1}{x}$的间断点。

$f(x) = \sin \frac{1}{x}$在$x \to x_0$时，函数值在-1到+1之间变动无限多次，所以$x = 0$为$f(x) = \sin \frac{1}{x}$的震荡间断点。

3. 可去间断点

定义：函数$f(x)$在$x_0$处没有定义或定义点的函数值不能使$f(x)$成为一个连续函数，且若在$x_0$处能通过补充定义使$f(x)$成为连续，则$x_0$为$f(x)$的可去间断点。

例：$f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$在$x = 1$处没有定义，所以$x = 1$为$f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$的间断点。

但如果补充定义：令$x = 1$时$f(x) = 2$，那么$f(x)$即成为了连续函数，所以$x = 1$为$f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$的可去间断点。

4. 跳跃间断点

定义：$f(x)$在$x_0$处有定义，且$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在，但左右极限不相等，则$x_0$为$f(x)$的跳跃间断点。

例：

$$
f(x) =
\begin{cases}
x-1, & \text{if } x < 0 \
0, & \text{if } x = 0 \
x+1, & \text{if } x > 0
\end{cases}
$$

当$x \to 0$时，

$$
\lim_{x \to 0^-}f(x) = \lim_{x \to 0^-}(x-1) = -1
$$

$$
\lim_{x \to 0^+}f(x) = \lim_{x \to 0^+}(x+1) = 1
$$

左右极限虽然都存在，但是不相等，所以极限$\lim_{x \to 0}f(x)$不存在，$x = 0$是$f(x)$的间断点。

$f(x)$在$x = 0$处产生跳跃现象，所以$x = 0$为$f(x)$的跳跃间断点。