实对称矩阵必可正交对角化证明

实对称矩阵必可正交对角化证明

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_35732969/article/details/81428109

待办计划：给自己立个小目标吧！

n阶矩阵A可正交对角化的充分条件是A是实对称矩阵，即若A是实对称矩阵则A必可正交对角化。

首先，有以下定理：

若
的特征值为
，且
，则存在正交矩阵Q，使A相似于如下三角矩阵：

证明如下（数学归纳法）：

设n*n阶矩阵A，当n = 1时，结论显然成立，假设当n - 1时结论成立，我们需要证明当n时，结论也成立。

设A的一个特征值为
，对应的特征向量为
，将
扩展为n维空间的一组标准正交基
，记为：

，则：

因为Q是n维空间的一组标准正交基，所以
可表示为：

，则：

，

，

由相似矩阵有相似特征值，可知n-1阶矩阵
有特征值
。由假设可知，存在n-1阶正交矩阵S使：

，

记：

，显然Q是正交矩阵（
）。.

记：

，

则：

，

若A为实对称矩阵，即
，则
，又因为B为上三角矩阵，所以B必是对角矩阵，即：

所以实对称矩阵必可正交对角化。（另外：根据矩阵可对角化的充要条件，很容易得出n阶实对称矩阵具有n个线性无关的特征向量）

但能正交对角化的矩阵不一定是实对称矩阵。事实上，矩阵A正交相似于对角阵的充要条件是矩阵A为正规矩阵，即
，实对称矩阵是正规矩阵的一种。

随笔日记：祭那些逝去的时光

参考资料：

David.C.Lay《线性代数及其应用》

程云鹏《矩阵论》

史荣昌《矩阵分析》

其他参考：

为什么实对称矩阵一定能对角化？

充分条件和必要条件怎么区分 ？