九点圆定理：三角形中的几何之美

九点圆定理：三角形中的几何之美

九点圆定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了三角形中九个特殊点共圆的性质。这个定理不仅展示了数学的美妙，还具有重要的理论价值和应用前景。

在平面中，对所有三角形，其三边的中点、三高的垂足、顶点到垂心的三条线段的中点，必然共圆，这个圆被称为九点圆，又称欧拉圆、费尔巴哈圆。

九点圆具有以下性质：

1. 九点圆的半径是外接圆的一半。
2. 圆心在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点。
3. 九点圆和三角形的内切圆和旁切圆相切（费尔巴哈定理）。
4. 圆周上四点任取三点做三角形，四个三角形的九点圆圆心共圆（柯立芝-大上定理）。

1765年，莱昂哈德·欧拉证明：“垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圆（六点圆）。”许多人误以为九点圆是由欧拉发现所以又称乎此圆为欧拉圆。而第一个证明九点圆的人是彭赛列（1821年）。1822年，卡尔·威廉·费尔巴哈也发现了九点圆，并得出“九点圆和三角形的内切圆和旁切圆相切”，因此德国人称此圆为费尔巴哈圆，并称这四个切点为费尔巴哈点。柯立芝与大上茂乔（Shigetaka Ooue）分别于1910年与1916年发表“圆周上四点任取三点做三角形，四个三角形的九点圆圆心共圆。”这个圆还被称为四边形的九点圆，此结果还可推广到n边形。