调和点列与调和线束之性质

调和点列与调和线束之性质

角平分线是我们在学习三角形时最早接触的与角相关的特殊线段之一。作为课程标准中必学的知识点，角平分线既通俗易懂又变化莫测，其性质简单却极其重要。通过角平分线，我们可以引出许多知识点、定理、例题和模型，在中考和自主招生考试中都有其重要地位。本文将从角平分线的基本性质出发，逐步深入探讨调和点列和调和线束的概念。

角平分线的性质

对于大部分课内学生来说，对角平分线的了解通常仅限于其基本性质：

角平分线的性质：
角平分线上的任意一点，到该角的两条射线的距离相等。

这一性质可以带来垂直、等腰等条件，课内的老师对此讲解得已经非常清楚。然而，对于没有接触过竞赛或没有进行课外拓展的学生来说，他们可能并不知道还有一个角平分线定理的存在。

角平分线定理

在△ABC中（见图），若AD是∠A的内角平分线，AE是∠A的外角平分线，则：

$$
\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC} \quad ①
$$

$$
\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{BC} \quad ②
$$

这个定理的证明方法有很多，最常用的是面积法（利用角平分线的性质）。细心的同学可以发现，由①②式可得：

$$
\frac{BD}{DC}=\frac{BE}{EC}
$$

这个式子有一种对称的美感。如果点D和点E不是共线的，可能会产生许多美妙的几何关系，如相似、平行等。然而，这个式子实际上开启了一扇金碧辉煌的大门，也像是一个精心设计的陷阱，因为它背后隐藏着我们今天要探讨的主题——调和点列。

调和点列与调和线束

一般地，如果点D和点E内分外分线段BC所成的比相等，即满足上述式子，则称点D和点E调和分割线段BC，称B、D、C、E为调和点列，AB、AD、AC、AE为调和线束。

我们熟悉的这个简单定理背后，竟然隐藏着进入竞赛数学的一扇小门。门里的世界，等待着我们去探索。