指数分布和伽马分布介绍
指数分布和伽马分布介绍
指数分布和伽马分布是概率论与数理统计中非常重要的两个分布，它们在可靠性理论、排队论等领域有着广泛的应用。本文将详细介绍这两个分布的定义、性质及其相互关系。
指数分布
指数分布的密度函数和分布函数是理解该分布的关键。首先，让我们给出参数为(\lambda)的指数分布密度函数图：
从图中可以看到，指数分布是一种偏态分布（对比于正态分布）。由于指数分布随机变量只可能取非负实数，所以指数分布常被用作各种“寿命”分布，电话的通话时间、随机服务系统中的等待时间等都可假定服从指数分布。指数分布在可靠性与排队论中有着广泛的应用。
这里给出如何记忆指数分布的密度函数和分布函数：建议记密度函数，一般密度函数考察会多一点。但是其实知道密度函数不一定推出分布函数，但知道分布函数可以直接算出密度函数，但你得承认，密度函数比分布函数好记。指数分布的密度函数是
[f(x)= \lambda e^{-\lambda x} ]
因为(f(x))本来就是因为可以积分得到(F(x))，所以前面的(\lambda)是求导的产物。
伽马分布
首先我们介绍一个函数（重点介绍，一直学一直忘）：
[\Gamma (\alpha)= \int _0 ^\infty x^{\alpha -1}e^{-x} dx ]
其中(\alpha>0)。这个函数叫做伽马函数。
现在我们从根源记住伽马函数。伽马函数的设定完全可以等价于解决一个插值问题：找到一个平滑的曲线连接点“（x,y）”，其中y = (x-1)!, x是正整数值。
什么是阶乘函数？我们当然知道阶乘是什么了：
[n! = n*(n-1)(n-2) \cdots *1 ]
阶乘函数就是带有上述阶乘运算的函数。y = (x-1)!就是一个阶乘函数。
再回到我们伽马函数，其实就是说，我们知道阶乘函数是仅对于离散点定义，但是我们希望连接起这些离散的点，也就是说将阶乘函数拓展到所有复数上。
但很显然阶乘的简单公式不能直接用于小数值，因为它仅在(x)是整数时才有效。因此，数学家一直在寻找“什么样的function将这些点平滑地连接起来，并为我们提供所有实际值的阶乘？”
事情的转机就在此，欧拉他发现了伽马函数：
[\Gamma (\alpha)= \int _0 ^\infty x^{\alpha -1}e^{-x} dx ]
上面的公式用于找到(\alpha)在任何实数值的Gamma函数的值。也就是说伽马函数解决了我们的问题，此刻再回顾一下，什么问题？...：我们希望找到一拟合曲线，它连接着点【which is"每个正整数点x上f(x)= （x-1）！"】
好了，以上的了解是为了让读者深刻体会伽马函数的意义，其实就是直接记住它的性质：
[ \Gamma (\alpha) = (\alpha -1) ! =(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1) ]
这里特别需要注意，第二个等号右边是一个记号，以便于自己理解，因为阶乘运算只在整数点，一定注意。不要觉得迷糊，到这里，再顺一遍我们的逻辑，应该没什么问题。
这里我们开始详细看看Gamma函数：
[\Gamma (\alpha)= \int _0 ^\infty x^{\alpha -1}e^{-x} dx ]
为什么选择这两项，欧拉是发现自然数e的那个人，因此他必须做很多实验，将e与其他函数相乘才能找到当前形式。不敢想象...
但可以看到当(x\to \infty)时，多项式项快速增长和指数项快速下降。这里可以参考：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/147583667
也是本随笔的主要参考文章。
总之，也就是说伽玛函数会收敛到有限值。
接下来我们理论来分析伽马函数：
- 利用分部积分法，可以直接得到递推公式：
[\Gamma (\alpha) = (\alpha - 1)\Gamma(\alpha-1) ]
这里的推导不难，建议读者自己证明一下，是简单的。
(\Gamma(1)= 1)
(\Gamma(n)= (n-1)!)
注3：不要以为这个很简单，这就是数学里的绝对细节...3的结果依靠于2。
现在我们可以自信地说，我们会很容易记住伽马分布的密度函数。大标题给了上面的自信，其实这一小节的标题叫做：使用Gamma函数的属性，显示Gamma分布的PDF积分为1。
[p(x) = \left{ \begin{aligned} &\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}, && x \geq 0 \ &0, && x < 0 \end{aligned} \right. ]
现在你应该可以轻易记住这个分布的密度函数了，因为Gamma函数的良好性质，这个函数的积分是1。
现在我们一起来看看，分式那一项完全不需要考虑拿出积分外。可以看到，(x^{\alpha-1}e^{-\lambda x})类似于伽马函数的被积项，回顾Gamma函数啊，形象记忆就是有多项式的升和指数的降，可以看到和这里的形式很像，我们具体来看看，只有自己做一遍才能记得牢，事实上，在写之前我已经推了一遍了，但我又忘了...到底要怎么记（😠）
[\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} dx = \frac{1}{\lambda^{\alpha}} \int_0^\infty \lambda^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x} d\lambda x= \frac{1}{\lambda^{\alpha}} \Gamma(\alpha) ]
right， 这就是为什么(p(x))里面会有(\frac{\lambda^ \alpha} {\Gamma (\alpha)})。
ok,伽马函数介绍基本就到这里，至于还有比较重要的待证明的：
[\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} ]
这里后面有需要补充！！
现在我们再看这两个分布，当(\alpha =1)时，伽马分布就是指数分布。现在再看伽马分布，(G(\alpha, \lambda))，看到上面的指数分布的图，它整体形状是不会变的（呈现一个单调下降的趋势），(\lambda)的大小是决定趋势的大小，也就是图形的尺寸。