线性代数的本质：矩阵与线性变换
线性代数的本质：矩阵与线性变换
线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于计算机科学、物理学等领域。其中，矩阵与线性变换的关系是线性代数的核心内容之一。本文将通过具体的数学例子和直观的解释，阐述线性变换的性质、基向量的变换以及如何通过矩阵表示线性变换。
线性变化要满足两点性质：
- 直线（连续的点）在变换后还是直线。
- 原点不变。
假设有坐标轴（基底）i和j：
i = [1 0] , j = [0 1]
若向量v = [-1 2]，则可以使用它们表示成：
v = -1i + 2j
当空间进行一次线性变换后，i和j都发生了变化，但v与它们的关系却保持不变。假设这些向量经过变换变成了：
Tran(i) = [1 -2] , Tran(j) = [3 0] Tran(v) = [5 2]
发现依然满足：
Tran(v) = -1Tran(i) + 2Tran(j) = -1[1 -2] + 2[3 0] = [-1(1) + 2(3) -1(-2) + 2(0)] = [5 2]
实际上，将两个基底在线性变换后变成的两个列向量合在一起，就是一个表示该线性变换的矩阵；对原向量左乘该矩阵，就能得到线性变换后的向量：
Tran(v) = M*v = [1 3 -2 0][-1 2] = -1[1 -2] + 2[3 0] = [-1(1) + 2(3) -1(-2) + 2(0)] = [5 2]
把数字换成符号，可以得到一个等式：
[xi xj yi yj][x y] = x[xi yi] + y[xj yj] = [xix + xjy yix + yjy]
举个例子，如果要进行一次线性变换，使得二维空间被逆时针旋转90度，那么，可以知道：
Tran(i) = [0 1] , Tran(j) = [-1 0]
于是可以直接写出线性变换对应的矩阵：
[0 -1 1 0]
将任意向量左乘该矩阵，就能使其旋转90度，如：
[0 -1 1 0][-1 2] = [-2 -1]
用这个视角来看，一个原地不动的线性变换对应的矩阵自然就是单位矩阵，因为：
Tran(i) = [1 0] , Tran(j) = [0 1]
直接得到矩阵：
[1 0 0 1]