标准误(Standard Error)
标准误(Standard Error)
标准误是数据统计中的一个重要概念，用于衡量样本均值和总体均值的差距。本文将从定义、意义、与标准差的区别、计算方法、应用以及蒙特卡洛模拟等多个方面详细介绍标准误。
1. 标准误概念
标准误全称：样本均值的标准误(Standard Error for the Sample Mean)，顾名思义，标准误是用于衡量样本均值和总体均值的差距。
2. 标准误意义
标准误用于衡量样本均值和总体均值的差距有多大：
- 标准误越小，样本均值和总体均值差距越小
- 标准误越大，样本均值和总体均值差距越大
标准误用于预测样本数据准确性，标准误越小，样本均值和总体均值差距越小，样本数据越能代表总体数据。
3. 标准误与标准差区别
对一个总体多次抽样，每次样本大小都为n，那么每个样本都有自己的平均值，这些平均值的标准差叫做标准误。
标准差是单次抽样得到的，用单次抽样得到的标准差可以估计多次抽样才能得到的标准误差。
标准差表示数据离散程度：
- 标准差越大，分布越广，集中程度越差，均值代表性越差
- 标准差越小，分布集中在平均值附近，均值代表性更好
标准差与标准误不同应用范围：
- 标准差：（图左）在正负两个标准差（95%概率下），Jack消耗时间在68-132秒之间。
- 标准误：（图右）在正负两个标准误，Jack消耗平均时间大约在95-105秒之间。
4. 标准误计算例子
什么是真实的标准误？举个例子，对一个总体12次抽样，生成12个样本，每个样本大小都为5。那么每个样本都有自己的平均值，这些平均值的标准差叫做标准误差。这里就是对表格最后一行数组计算标准差（100，101,99,114,103.....93），最后算出来标准误结果为6.33。
但是为了得到标准误，我们不可能做很多次科学实验。实际上我们可以做一次样本实验，然后采用估算公式：
如下图，我们用第一组样本估算真实标准误，此样本标准差除以根号n,结果为7.16， 然后把7.16约等为真实的标准误6.33。
所以标准误也是另外一种形式的标准差，标准误和总体标准差既有相似处，又有区别。标准误是一个比较难得概念，读者一次不能很好理解，如果反复看此文章，然后自己动手程序模拟，就会增强直观印象，加深理解。
所有的随机样本中，如果数量相同，它们的标准误默认为近似相同（非真正相同）
5. 标准误的应用
我们有两组数据，一组观看了指导视频，一组没有观看指导视频，比较两组数据在得分方面有无显著差异？
随着样本量不同，我们得到的结果不同。图左，两组数据没有区别，图中两组数据可能有区别，可能没有；图右两组数据有区别
样本量为3时，看视频组的2标准误为15，没看视频的2标准误为13。
样本量小时，标准误很大，样本均值和总体均值差异很大，样本数据的代表性很差。
样本量为5时，看视频组的2标准误为9，没看视频的2标准误为10。
样本量增大后，标准误变小。
样本量为10时，看视频组的2标准误为7，没看视频的2标准误为6。
样本量增大后，标准误再次变小
随着样本量不同，我们得到的结果不同。下面的图左（样本量为3），两组数据没有区别，图中（样本量为5）两组数据可能有区别，可能没有；图右（样本量为10）两组数据有区别
实际上，众多毕业论文和专业期刊的统计分析都是错的，虽有华丽的可视化图表，但新手很容易因样本量太小得到错误结果。
6. 蒙特卡洛模拟
蒙特卡洛验证，对一组样本进行标准误评估，看公式SE = s/√(n)是否准确
结果表明SE = s/√(n)公式得到的标准误和真实标准误非常接近
样本值100，标准误很小，大约0.1
样本值10，标准误增大，大约0.33
样本值5，标准误再次增大，大约0.45