极限存在的条件
极限存在的条件
极限存在的条件
在左极限与又极限相关的内容中我们知道极限（也叫双侧极限）存在的充分必要条件是左右极限都存在且相等，否则极限不存在。所以这里要来详细的探讨一下在什么情况下函数会不存在极限。
1. 函数$f(x) = \frac{1}{x}$
观察反比例函数$f(x) = \frac{1}{x}$的图像，如图所示。$\lim_{x \rightarrow 0}f(x)$是什么呢？看图就知道双侧极限在这里不大可能存在。因此，我们先来试着求一下右极限，$\lim_{x \rightarrow 0+}f(x)$。
看一下图像，当$x$是正的且接近于0时，$f(x)$看起来好像非常大，特别是当$x$从右侧滑向0时，它看起来并不接近于任何数，它就是变得越来越大了。但会有多大呢？它会比你能想象到的任何数都大！我们说该极限是无穷大，并写作：
$$
\lim_{x \rightarrow 0+} \frac{1}{x}=\infty
$$
类似地，这里的左极限是$-\infty$，因为当$x$向0上升时，$f(x)$会变得越来越负，这就是说
$$
\lim_{x \rightarrow 0-} \frac{1}{x}=-\infty
$$
由于左极限为$-\infty$和右极限为$+\infty$不相等，故左极限和右极限都存在，但是双侧极限显然不存在。
2. 函数$g(x) = \frac{1}{x^2}$
观察反比例函数$g(x) = \frac{1}{x^2}$的图像，如图所示$\lim_{x \rightarrow 0}f(x)$是什么呢？
此函数在$x = 0$处的左极限和右极限都是$\infty$，因为左极限等于右极限，故左极限和右极限以及双侧极限都存在，因此这时也可以说极限（合称为极限）存在，即符号表示为
$$
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x^2}=\infty
$$
3. 函数$g(x) = \sin(\frac{1}{x})$
前面两个例子说明的是左右极限存在，但左极限不等于右极限时双侧极限不存在，那有没有可能会出现左极限或右极限不存在的情况，有的$\sin(\frac{1}{x})$就是这样的。
现在分析一下图像，由于$\sin(x)$在$x = \pi$，$2\pi$，$3\pi$，...上的值全为0，所以$\sin(\frac{1}{x})$会在$x = \frac{1}{\pi}$，$\frac{1}{2\pi}$，$\frac{1}{3\pi}$，...上的值全为0。而$\frac{1}{\pi}$，$\frac{1}{2\pi}$，$\frac{1}{3\pi}$，...这些数就是$\sin(\frac{1}{x})$函数在$x$轴的值。
$\lim_{x\rightarrow0+}\sin(\frac{1}{x})$是什么呢？以上图像在$x = 0$附近很杂乱，它无限地在1和-1之间振荡，震荡的原因是随着$x$值的变化$\sin(\frac{1}{x})$不断产生最小-1到最大1之间含有小数的值（不是说只产生 -1 或 1，而是两者之间的实数值），当你从右侧向$x = 0$处移动时，振荡会越来越快，这里没有极限。
当$x$从右侧趋于$x = 0$时，$\sin(\frac{1}{x})$函数不趋于任何数，因此可以说$\lim_{x\rightarrow0+}\sin(\frac{1}{x})$不存在（即DNE）。