通往函数世界的第一步——理解指数函数

通往函数世界的第一步——理解指数函数

让我们从一个经典的结果开始，关于指数函数的导数，我想大家可能都知道：

这是一个重要的结果。它告诉我们指数函数是它自己的导数。这意味着我们可以用它来解x变化率与x的值成比例的微分方程。在这期推送中我们采用导数的定义来证明这个结果，并且提供关于指数函数的微积分理解。
指数函数的导数
为了证明结果，我们需要函数y = f(x)的导数定义，这可以由下面的公式来描述：

对于指数函数e^x来说，我们得到：

根据指数的运算法则，我们知道e^(x + h)是e^x乘以e^h，因此我们可以提取e^x的共同因子：
关于e我们知道以下的定义：

这里我们可以耍一个小小的花招令1/h = n，则可以得到下面关于e的表达式：
注意这里做了一个变量代换，当n趋向于无穷大时，h = 1/n趋向于零。现在我们可以将e的这个值代入到我们考虑的导数表达式中
同样，根据指数的运算规则，我们知道(e ^a)^b等于e^ab ，因此我们可以简化这个项（ 1/h的幂和h的幂互相抵消）：
这进一步简化为：
当h趋向于零时， h/h的极限为 1，因此我们得到最终结果：

为什么是e？

你可能仍然想知道为什么这个等式涉及到e这个常数，好吧我们需要往前看看：

我们看到关键的事实是极限项结果是1：
我们不会在这里证明这一点，但要使这个极限成立，本质要求e^x在x = 0时具有1的斜率(想一想为什么)下面这些图表显示了底数为2、e和5的指数函数的图像，其中黑色虚线的斜率均为1：
当x为零时，底数为e的切线斜率为1，底数为2的切线斜率(x=0)小于 1，底数为5切线的斜率(x=0)大于 1。

e的新定义

现在我们可以提供e的另一种定义：
e是当x为零时，函数a的x次方切线斜率为1的a值。
有了这个新定义，我们就更容易理解为什么e具有如此特殊的性质。如果我们在x = 0处绘制一个切线斜率为1的指数函数，则该函数的底数为e。这类似于说，如果你画一个半径为1的圆，它的面积为pi。e就像pi一样，是一个由简单情况产生的奇怪的无理数。(e是无理数的巧妙证明，几何直觉证明e是无理数，傅立叶关于e是无理数的证明)由于e^x的导数是e^x，因此积分也是e^x。更准确地说， e^x的不定积分是：
其中C是积分常数。由于x趋向于负无穷时函数趋向于零，因此我们有以下f反常积分：
换句话说，从a开始一直延伸到负无穷大的曲线下的面积是e =的a次方。下面的图形直观的显示了这一点：
曲线下的面积A等于曲线的值
到这里，我们才算稍微理解了一点指数函数。