构件在弯矩作用下的受力分析：弯曲应力与弹性截面模量

构件在弯矩作用下的受力分析：弯曲应力与弹性截面模量

本文深入探讨了构件在纯弯矩作用下的受力分析，重点介绍了弯曲应力和弹性截面模量的概念及其计算方法。通过详细的公式推导和图形解释，帮助读者理解纯受弯构件的应力分布特征。

关键词：受弯 弯曲应力 截面模量

前天，小编分享了一篇帖子，简单谈了谈纯受弯构件的应力分析问题。
但是聊的还是有些浮于表面了，小编在此决定追加一篇。
作为上一篇的姊妹篇，本贴会深入聊聊“纯受弯构件只需要分析单轴应力”的具体含义和计算方法。
本帖还会牵扯出两个本公众号之前从来没有提过的概念——弯曲应力、弹性截面模量。

弯曲应力

图1右，构件在纯弯矩M作用下，将截面单元的应力情况简化为图1左：所有的应力中只有σx不为0，其它剪应力及正应力都是0，原因我们在上一篇已经详细解释过了。感兴趣的请移步拙文：为什么构件受弯只分析单轴应力？

图1 纯受弯构件

我们一开始也说了，构件受到的是纯弯矩作用，并没有x轴方向的拉力，因此x轴方向上的拉力为0，也就是：

∫σxdA=0 公式1

小伙伴看到这里不要疑惑，这里的用词是x方向的“拉力荷载”（的合力）为0，与“拉应力σx≠0”并不矛盾。

我们再来看看受弯构件应力分布正视图，图2。

图2 受弯构件应力分布

图3 受弯构件变形

上篇帖子咱们说过，受弯构件的上侧AB段受压变短，下侧A'B'受拉变长，那么二者之间必有一段既不受拉变长也不受压变短——长度变化为0，这样的线段所在面被称为构件的“中性面”，中性面与截面的交线被称为“中性轴”。

图3中的所有横曲线（或者弧）都共用圆心C，而所有的弧长又与各自对应的半径（如CB、CB'）呈正比，那么所有弧长一定是线性变化的，由此推出所有弧的应变是线性的，根据胡克定律（详见：聊聊“胡克定律”本质——弹性模量），从AB到A'B'，其应力分布也必然是线性的，如图2所示。

此外，最大压应力必然在上部（AB线上，因为AB受压被压缩的最短），最大拉应力必然在下部（A'B'线上，因为A'B'受拉被拉长的最长）。

我们设最大压应力为σm，那么沿y轴任意一点的应力σx为：

σx/σm=y/c => σx=σmy/c 公式2

其中，y是图2任意点到σx轴的距离，σx为距离y处的应力，这个应力就是所谓的“弯曲应力”——构件受弯带来的正应力，它也是“纯受弯构件只需要分析单轴应力”中的那个“单轴应力”。

把公式2代入公式1：

∫σxdA=0 => σm/c∫ydA=0 公式3

在讲截面惯性矩那篇帖子的时候（说说“截面惯性矩”），我们说过∫ydA其实就是面积距。

小编在这里再啰嗦一次，面积矩的意思是构件截面面积和截面形心与所绕轴距离的乘积。既然公式3等于0，且σm不为0，那么∫ydA必为0，也就是说截面形心与所绕轴距离必为0，得到的结论就是：纯弯曲构件截面的形心必在截面中性轴（中性面）上！

弹性截面模量

还是回到图1。

图1 纯受弯构件

构件受到弯矩作用时，任意截面上的内应力发挥抵抗作用与该外来弯矩达成平衡，于是就有：

∫yσxdA=M => σm/c∫y2dA=M 公式4

读到这里，看过说说“截面惯性矩”的小伙伴会发现，∫y2dA其实就是截面惯性矩。所以公式4可以简化成：

σm/c∫y2dA=M => σm=Mc/I 公式5

再结合公式2，得到：

σx=My/I 公式6

需要注意的是，公式5中的c、I仅仅与构件截面尺寸相关，他俩可以合并为一个参数：

S=I/c 公式7

我们管这个“S”叫做“弹性截面模量”，之所以叫“弹性”截面模量，是因为该公式适用于材料弹性工作阶段的力学计算。

因此公式5又可以进一步简化成：

σm=M/S 公式8

弹性截面模量是个很重要的参数，它可以直接协助工程师判断构件的抗弯能力。

拿矩形截面构件来说，S=bh3/12/(h/2)=Ah/6，A是截面面积。

可以看出来，在截面面积相同的情况下，也就是同等材料用量的情况下，截面越高，构件抗弯能力越强！如图4所示。

图4 面积相同，高度不同的截面

国标工字钢列表详细罗列了各种型号的工字钢截面属性，其中就包括截面模量，只不过标准是用W表示的，如图5所示。

图5 国标工字钢

以10号型钢为例，Ix=245cm4，高度h=10cm，截面模量Wx=245/(10/2)=49cm3。

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