矩阵可逆-我们能不能回到当初第一次见面的模样

矩阵可逆-我们能不能回到当初第一次见面的模样

矩阵可逆性是线性代数中的一个重要概念，它描述了矩阵所代表的线性变换是否可以被“逆转”。本文通过类比和直观解释，帮助读者深入理解矩阵、伴随矩阵、向量、线性变换等概念，并详细介绍了矩阵可逆性的判断方法和逆矩阵的求法。

让我们从一个简单的类比开始：

• 矩阵：食谱
• 伴随矩阵：营养成分分析表
• 向量：食材
• 线性变换：做菜的过程

标题的意思就是，能不能回到我送你进矩阵之前的模样，要是还能回去那就是可逆，可逆其实讲的是“原料”。有没有那么一个矩阵，可以把变换过的原料再变回去。

（不能不说矩阵）一个矩阵就像是一个加工厂，它能把输入的原材料（向量）加工成输出产品（另一个向量）。这个加工过程可以看成是一个线性变换。

其实真正还原的过程是：伴随矩阵，登场了，

一个看起来很怪异的公式，一个矩阵的逆矩阵，可以通过计算它的伴随矩阵和行列式来实现。对于一个n阶方阵A，它的伴随矩阵adj(A)的元素是A的代数余子式的代数伴随。也就是说，adj(A)的第i行第j列的元素是A的第j行第i列的余子式的(-1)^(i+j)倍。

adj(A)ij = (-1)^(i+j) * Mji

其中，Mji是矩阵A去掉第i行第j列后得到的子式的行列式。

虽然伴随矩阵的计算过程比较复杂，但它在几何上也有着一定的意义。在三维空间中，一个矩阵的伴随矩阵可以表示一个与原矩阵对应的平面的法向量。可以看作是这个变换的“反向工程”配方。它告诉你，如果给你一个成品，如何通过逆向操作，分解出原来的原材料。

我学习主打一个字典学习法，我觉得理解每一个名词背后的意思，就是最深刻的学习过程。比如现在出现的线性变换，你能说出来吗？但是要明确一点，线性变换你要说明白现在在什么空间做变换。

在线性代数里面：线性变换可以看作是向量空间中的一个“拉伸”、“旋转”或者“扭曲”的过程，并且这些变换保持了原空间的直线和平行性。操作不会改变图形的本质（比如直线还是曲线），只会改变它的形状和位置。

但是我觉得，还是不够，继续深入这个话题。

1. 矩阵与线性变换:每一个线性变换都可以用一个矩阵来表示。矩阵的每一列代表了基向量经过线性变换后的像。
2. 矩阵乘法与线性变换:当我们用一个矩阵乘以一个向量时，实际上就是对 这个向量进行了线性变换。矩阵乘法观点-几何含义

我想说说第一个，矩阵和线性变换的关系：

• 基向量：一个空间，比如二维平面。在这个平面上，我们可以选取一组基向量（比如x轴和y轴上的单位向量），它们可以表示空间中的任意一个向量。坐标轴就是基向量。
• 矩阵的列向量：矩阵的每一列告诉我们，原来的基向量经过线性变换后变成了什么新的向量。也就是说，矩阵的每一列就是变换后的基向量。 也就是说矩阵的每一列告诉我们，原来的坐标轴（基向量）经过变换后变成了新的坐标轴。

其他点都是由基向量线性组合得到的，所以当基向量变化时，其他点也会跟着变化。

找到感觉了吗？本质来说，你要操作一个庞大的数据结构，里面装满了点，你可以想就是一个点集。然后这个线性变换就是你要施加的操作。首先我们在变换前建立一个坐标系，那么在这个坐标系里面的每一个点都能有一个独特的ID，也就是XY的坐标。然后去往新空间的时候怎么办？就是按照我们给的这个线性变化的规则。这个规则这里是用矩阵来描述的，一列就是一个小规则，描述的是基向量变换成了什么！！！注意，是基向量，其实没有对每一个点做变换。但是所有空间的点是以基向量作为局部参考系做位置上面的标定的。我们整理一下，我们现在有了要变换的点集，使用一个坐标系来给大家定位。接着给了一个矩阵，是一个方阵，每一列都说明了前面构造点集空间的基向量如何变化，起名字叫线性变换，接着整个变换过程要通过一个运算来完成，叫矩阵乘法。

有一个二维平面，基向量是i=(1,0)和j=(0,1)。现在有一个线性变换，它将i向量变为(2,1)，将j向量变为(-1,3)。那么，这个线性变换对应的矩阵就是：

| 2 -1 |
| 1  3 |

回答为什么矩阵的列向量代表变换后的基向量？

• 矩阵乘法：当我们用这个矩阵乘以一个向量时，实际上就是把这个向量分解到基向量上，然后分别对每个基向量进行变换，最后将变换后的结果相加。
• 坐标变换：矩阵的每一列告诉我们，原来的坐标系中的一个单位向量在新的坐标系中的表示。

在变化过程中，我们不免的要研究，这个过程中，信息到底有没有损失。信号与系统里面还有无损传输呢。

就用矩阵的秩：矩阵的秩表示了线性变换后空间的维度。如果秩小于原空间的维度，说明变换过程中丢失了一些信息，空间被压缩了。

如果这个函数满足以下两个条件，那么它就是一个线性变换：

• 加法性:函数作用于两个向量的和，等于分别作用于这两个向量再相加。
• 齐次性:函数作用于一个向量的倍数，等于将向量先乘以这个倍数，再作用于函数。把一个物体放大，这就是一个线性变换。无论你把物体放大多少倍，物体的形状不会改变，只是尺寸变大了。如果想把所有的点放大两倍，那么就需要一个缩放矩阵。这个矩阵会告诉纸上的每一个点，它们应该离原点远两倍。
• 旋转性（其实没有这个，但是我觉得加上完整）：旋转门把人旋转一定角度，这也是一个线性变换。无论你进入旋转门的位置如何，你都会被旋转相同的角度。如果是顺时针旋转90度，那么就需要一个特定的旋转矩阵。这个矩阵会告诉每一个点，它们应该移动到新的位置。

晕了吗？其实这里才说到矩阵可逆，但是你要在这个概念之前了解更多。

• 可逆矩阵就好比一个可以完美复原的机器。也就是说，如果你把一个原材料放进去加工，得到一个产品。那么，存在另一个机器（逆矩阵），能把这个产品加工回去，还原成原来的原材料。 比如一个放大镜，它能把物体放大。如果有一个缩小镜（它的逆矩阵），就能把放大的图像缩小回原来的大小。
• 不可逆矩阵则像是一个单向的机器。你把原材料放进去加工后，得到的产物可能无法完全恢复原状。或者说，可能有多种不同的原材料能加工成同样的产品，导致无法确定原来的原材料是什么。 比如一个榨汁机，把水果榨成汁后，你无法把果汁还原成原来的水果。

正统定义看下面：

我觉得可逆矩阵就是引入了1这个好算的东西
帅气

可逆矩阵，也称为非奇异矩阵，指的是一个方阵，且其行列式不为零。

换句话说，对于一个方阵 A，如果存在另一个方阵 B，使得 AB = BA = I（其中 I 是单位矩阵），那么矩阵 A 就是可逆的，矩阵 B 就是 A 的逆矩阵。

逆矩阵是对于一个可逆矩阵 A 而言的，它是一个满足 AB = BA = I 的矩阵 B。可以将逆矩阵看作是矩阵的“倒数”，在矩阵运算中起到类似于数的倒数的作用。

• 唯一性:一个可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。
• 行列式:可逆矩阵的行列式不为零。
• 转置矩阵:可逆矩阵的转置矩阵也是可逆的，且 (A')^(-1) = (A^(-1))'。
• 乘积:若 A 和 B 都是可逆矩阵，则 AB 也是可逆的，且 (AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)（注意顺序）。

可逆矩阵的判断

• 行列式法:计算矩阵的行列式。若行列式不为零，则矩阵可逆。

事实上，行列式不为0其实是一个判断的充要条件

A的特征值λ≠0特征值是描述矩阵的一种重要性质，一个矩阵可逆当且仅当它的所有特征值都不为零。

ank(A) = n矩阵的秩等于其阶数，即矩阵的行向量或列向量线性无关。

Ax=0 只有零解x=0这意味着矩阵A的列向量线性无关。对于任意非零向量b，方程Ax=b总有唯一解这个条件与前句条件是等价的。

A = E1E2...Ek其中，Ei是初等矩阵。

矩阵的可逆性反映了矩阵所代表的线性变换的可逆性。如果一个线性变换是可逆的，那么它对应的矩阵就是可逆的。

• 初等变换法:对矩阵进行初等变换，若能变换为单位矩阵，则原矩阵可逆。
• 秩法:若矩阵的秩等于其阶数，则矩阵可逆。

逆矩阵的求法

• 伴随矩阵法:利用伴随矩阵求逆矩阵。
• 初等变换法:将增广矩阵 [A, I] 通过初等行变换化为 [I, A^(-1)] 的形式。
• 高斯消元法:利用高斯消元法求解线性方程组。
• 线性方程组:求解线性方程组 Ax = b 时，若 A 可逆，则解为 x = A^(-1)b。
• 线性变换:可逆矩阵表示一个可逆的线性变换。

特征值不能缺席。