DC-DC转换器电感值计算详解
DC-DC转换器电感值计算详解
在电源设计中，DC-DC转换器的电感值计算是一个关键环节。虽然在大多数情况下，工程师可以直接使用手册中推荐的电感值，但在某些特定场景下，如需要满足特殊的电源需求时，就需要自行计算电感值。本文以降压型DC-DC转换器为例，详细介绍了电感值的计算方法，并通过一个具体实例来说明计算过程。
降压DC-DC的运转环路
图15-1：Q1导通时的电流环路
如图15-1所示，在降压型DC-DC转换器中，当开关器件Q1导通时，电流从输入电压Vin通过电感L给输出平滑电容Cout充电，并提供输出电流Iout。此时电感L上流过的电流会产生磁场，将电能变换成磁能并储存起来。
图15-2：Q2关断时的电流环路
如图15-2所示，当开关器件Q1关断时，续流二极管Q2导通，电感L里储存的能量向输出侧释放。在Q1导通阶段Cout已经储满电量，Q刚进入关断时，电感L反向电动势维持输出电流Iout，而后电感能量减弱，Cout就会开始参与放电维持Iout，注意看电容蓝色电流虚线。
电感的电流波形
图15-3：流经电感L的电流波形
如图15-3所示是流经电感L的电流波形，Iout是电感电流的平均值。在Q1导通阶段，电感L上施加的电压VL(ON)可以用下式表示：
$$
VL(ON) = VIN - VSW - VOUT
$$
其中VIN是输入电压，VSW是Q1导通时的压降，VOUT是输出电压。
电感L的电压VL和电流IL的关系可以用下式表示：
$$
VL = L \frac{dIL}{dt}
$$
由公式(2)可以判断出给电感施加一定的电压，电压和反向电流会按照V/L的斜率增加，ILT是开关器件Q1在导通之前瞬间的电流，ILP是开关器件Q1在关断之前瞬间的电流。Ton时间段中电感流过的电流变化量可以根据公式(1)和公式(2)表示为：
$$
\Delta IL(ON) = \frac{VL(ON) \cdot Ton}{L}
$$
接着我们来求开关器件Q1在OFF时电感L流过的电流，Q1在OFF时，电感L上应加的电压VL(OFF)可以表示为：
$$
VL(OFF) = VOUT + VD
$$
其中VD是Q2的正向压降。
通过公式(2)和公式(4)，可以计算OFF时器件电感L的电流变化量：
$$
\Delta IL(OFF) = \frac{VL(OFF) \cdot Toff}{L}
$$
因为电感L流过电流的电荷量与输出电流的电荷量基本相等（伏秒定律），所以下面公式成立：
$$
\Delta IL(ON) = \Delta IL(OFF)
$$
用公式(3)和公式(6)可以求出ON时器件的ILP：
$$
ILP = ILT + \Delta IL(ON)
$$
用公式(5)和公式(6)可以求出OFF时器件的ILP：
$$
ILT = ILP - \Delta IL(OFF)
$$
On duty的计算
On Duty是相对于开关振荡周期Tsw，开关器件的导通时间的比率。用下面公式表示：
$$
D = \frac{Ton}{Tsw}
$$
从公式(7)、(8)、(9)可以求出D：
$$
D = \frac{VOUT}{VIN - VSW}
$$
对于公式(10)，如果忽略开关器件Q1的压降VSW和二极管Q2的压降，可以得到On Duty由输入电压和输出电压的比来决定：
$$
D = \frac{VOUT}{VIN}
$$
线圈电流的最大值
由公式(9)和公式(10)可以算出Ton：
$$
Ton = D \cdot Tsw
$$
把公式(12)代入到公式(7)，可以得到电感L的电流最大值ILP：
$$
ILP = ILT + \frac{VL(ON) \cdot D \cdot Tsw}{L}
$$
把公式(13)代入到公式(6)，可以得到电感L的电流最小值ILT：
$$
ILT = ILP - \frac{VL(OFF) \cdot (1-D) \cdot Tsw}{L}
$$
电流的变化量 (ILP－ILT) 如下式：
$$
\Delta IL = ILP - ILT
$$
由公式(13)和公式(15)可以推出最大电流和电流变化量随着电感L的增大、开关频率提高，电流值会减小。
电感值的计算
流过电感L电流的变化量 (ILP－ILT) 和输出电流Iout的比是电流纹波比R：
$$
R = \frac{\Delta IL}{Iout}
$$
把公式(15)代入到公式(16)：
$$
R = \frac{VL(ON) \cdot D \cdot Tsw - VL(OFF) \cdot (1-D) \cdot Tsw}{Iout \cdot L}
$$
由公式(17)求出的电感L值的公式如下：
$$
L = \frac{VL(ON) \cdot D \cdot Tsw - VL(OFF) \cdot (1-D) \cdot Tsw}{R \cdot Iout}
$$
当输出电压VOUT很高的时候，公式可以简化如下：
$$
L = \frac{VIN \cdot D \cdot Tsw}{R \cdot Iout}
$$
要缩小R的话，增大电感，抑制ΔIL就可以了，但是电感器变大，变得不实用，所以降压型转换器通常设定在0.2～0.5的范围内。
线圈能流过的最大电流
电感能流过的最大电流可以用下式求得：
$$
IL(max) = Iout + \frac{\Delta IL}{2}
$$
电感流过的电流是输出电流+纹波电流。输出短路等故障发生时，负载过渡状态中，没有软启动功能的IC在电源上升时，有时电感电流会超过上述计算的最大电流。在过渡状态下，电感电流可能会增加到IC的开关电流限制值。因此，最安全的方法不是按照大于电感电流最大值选择电感，而是选择额定饱和电流大于开关电流限制值的电感。
线圈流过的有效电流
三角波的有效值如下式表示：
$$
Ieff = \sqrt{\frac{Iout^2 + (\frac{\Delta IL}{2})^2}{2}}
$$
把公式(13)和公式(14)代入公式(20)可以得到下列公式：
$$
Ieff = \sqrt{\frac{Iout^2 + (\frac{VL(ON) \cdot D \cdot Tsw - VL(OFF) \cdot (1-D) \cdot Tsw}{2 \cdot Iout \cdot L})^2}{2}}
$$
电感计算实例
首先列出降压型转换器的动作条件：
- 输入电压：VIN=12V
- 输出电压：VOUT=3.3V
- 输出电流：Iout=2A
- 输出电流纹波比：R=0.3
- 开关器件 Q1 导通时的压降：VSW=0.30
- 续流二极管Q2的正向压降：VD=0.26，同步整流的时候，按照下管开关器件Q2在导通时的压降进行计算。
- 开关频率：fsw=380kHz
代入公式(18-1)和公式(18-2)，求电感的感量：
由公式(18-1)得：
$$
L = \frac{(12-0.3-3.3) \cdot 0.25 \cdot 2.63 \times 10^{-6}}{0.3 \cdot 2} = 9.8 \mu H
$$
由公式(18-2)得：
$$
L = \frac{12 \cdot 0.25 \cdot 2.63 \times 10^{-6}}{0.3 \cdot 2} = 13.15 \mu H
$$
由公式(19)计算电感的最大电流：
$$
IL(max) = 2 + \frac{9.8 \cdot 0.3 \cdot 2.63 \times 10^{-6} - 3.56 \cdot 0.7 \cdot 2.63 \times 10^{-6}}{2 \cdot 2 \cdot 9.8} = 2.49A
$$
由公式(20)计算电感的额定有效电流：
$$
Ieff = \sqrt{\frac{2^2 + (\frac{9.8 \cdot 0.3 \cdot 2.63 \times 10^{-6} - 3.56 \cdot 0.7 \cdot 2.63 \times 10^{-6}}{2 \cdot 2 \cdot 9.8})^2}{2}} = 2.24A
$$
在设计的时候，选择满足计算值的电感，选择最接近的标准值10µH。选择的电感值和计算值有差异的时候，用公式(17)计算电流纹波值R，把这个值代入公式（19），再次计算线圈的最大电流：
$$
R = \frac{9.8 \cdot 0.3 \cdot 2.63 \times 10^{-6} - 3.56 \cdot 0.7 \cdot 2.63 \times 10^{-6}}{2 \cdot 2 \cdot 10} = 0.296
$$
$$
IL(max) = 2 + \frac{9.8 \cdot 0.3 \cdot 2.63 \times 10^{-6} - 3.56 \cdot 0.7 \cdot 2.63 \times 10^{-6}}{2 \cdot 2 \cdot 10} = 2.49A
$$