严格推导质点曲线运动的运动学方程
严格推导质点曲线运动的运动学方程
质点曲线运动的运动学方程是物理学中的重要概念，它描述了质点在空间中运动时的位置、速度和加速度随时间的变化规律。本文将从位矢出发，通过严格的数学推导，建立质点在直角坐标系和极坐标系下的运动方程，并讨论圆周运动和一般曲线运动的特殊情况。
曲线运动在直角坐标系中的运动方程
质点在时刻t的位矢如下图所示。质点做的是曲线运动，位矢的长度与角度都是时间的函数
r = r(t),\theta=\theta(t)
因此接下来我们在对时间求导时需要同时考虑r和θ。
在直角坐标系中，位矢可以用x轴与y轴的单位矢量e_x与e_y来表示：
r=r\cos \theta \boldsymbol{e_x}+r\sin \theta \boldsymbol{e_y}
对式(1)求导即得到速度的方程。根据链式求导法则可以得到:
v=(\dot{r}\cos \theta- r\dot{\theta}\sin \theta)\boldsymbol{e_x}+(\dot{r}\sin \theta+r\dot{\theta}\cos \theta )\boldsymbol{e_y}
继续对(2)式求导就得到了加速度的方程：
a=[(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2 )\cos \theta-(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\sin \theta]\boldsymbol{e_x}+[(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2 )\sin \theta+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\cos \theta]\boldsymbol{e_y}
至此我们建立了在直角坐标系下的运动学方程。
曲线运动的极坐标方程
现在我们将以上运动方程用径向单位矢量e_r与切向单位矢量e_t来表示。首先我们建立两个坐标系的转换关系，从示意图上我们可以得到：
\boldsymbol{e_r}=\cos \theta \boldsymbol{e_x}+\sin \theta \boldsymbol{e_y},\boldsymbol{e_t}=-\sin \theta \boldsymbol{e_x}+\cos \theta \boldsymbol{e_y}
将(4)式与(1),(2),(3)式结合，整理后即得到位矢、速度、加速度的极坐标表达式。
位矢：
\boldsymbol{r}=r\boldsymbol{e_r}
速度：
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v_r}+\boldsymbol{v_t}=\dot{r}\boldsymbol{e_r}+r\dot{\theta}\boldsymbol{e_t}
加速度：
\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a_r}+\boldsymbol{a_t}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2 )\boldsymbol{e_r}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\boldsymbol{e_t}
至此我们建立了质点曲线运动在极坐标下的运动方程，其速度、加速度都可以写成径向与切向两个分量的矢量和。
更简洁的代数方法
事实上，由于R上的任意二维线性空间与R_2同构，因此x轴与y轴的单位矢量e_x与e_y，以及径向单位矢量e_r与切向单位矢量e_t，可以看做是R_2的两组基向量。那么上面的问题就可以简化为，如何将一个向量在一组基下的坐标，表示为另一组基下的坐标。由于径向单位矢量e_r与切向单位矢量e_t是由单位矢量e_x与e_y逆时针旋转θ后得到的，那么我们得到下面公式
\begin{pmatrix} \boldsymbol{e_r}\ \boldsymbol{e_t}\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta& \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e_x}\ \boldsymbol{e_y} \end{pmatrix}=\bold{A}^T\begin{pmatrix} \boldsymbol{e_x}\ \boldsymbol{e_y} \end{pmatrix}
其中A是转轴矩阵：
\bold A=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta& \cos\theta \end{pmatrix}
利用(8)式，我们可以非常容易得到在位矢在径向单位矢量e_r与切向单位矢量e_t这组基下的坐标：
位矢坐标：
\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta& \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r\cos \theta\ r\sin \theta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\ 0 \end{pmatrix}
速度坐标：
\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta& \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{r}\cos \theta- r\dot{\theta}\sin \theta\ \dot{r}\sin \theta+r\dot{\theta}\cos \theta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dot{r}\ r\dot{\theta} \end{pmatrix}
加速度坐标：
\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \ -\sin \theta& \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2 )\cos \theta-(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\sin \theta\ (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2 )\sin \theta+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\cos \theta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \ddot{r}-r\dot{\theta}^2 \ 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta} \end{pmatrix}
由此我们得到了相同的结论。
圆周运动的情况
当质点做圆周运动时，位矢\boldsymbol{r}=R\boldsymbol{e_r}，其长度恒等于半径R，此时\dot{r}=\ddot{r}=0，因此我们可以改写(6)式和(7)式，得到质点在圆周运动下的速度和加速度
速度：
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v_r}+\boldsymbol{v_t}=R\dot{\theta}\boldsymbol{e_t}=v\boldsymbol{e_t}
因此圆周运动时质点只有切向速度，没有径向速度。我们定义角速率为\omega=\dot{\theta}，角速度的方向满足\boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}，则(13)式可以改写为
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}=\omega R\boldsymbol{e_t}
加速度：
\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a_r}+\boldsymbol{a_t}=-R\dot{\theta}^2 \boldsymbol{e_r}+R\ddot{\theta}\boldsymbol{e_t}=-\omega^2 R\boldsymbol{e_r}+\dot{\omega}R\boldsymbol{e_t}=-\dfrac{v^2}{R}\boldsymbol{e_r}+\dot{v}\boldsymbol{e_t}
因此圆周运动时，质点既有切向加速度，也有径向加速度，径向加速度的方向指向圆心。
一般曲线运动的情况
设质点在曲线运动的某一点，对应的曲率半径为ρ，则方程(13)不变，(15)可以改写为：
\boldsymbol{a}=-\dfrac{v^2}{\rho}\boldsymbol{e_r}+\dot{v}\boldsymbol{e_t}
我们发现方程(5),(13),(16)并不依赖特定坐标系，因此被称为质点曲线运动的本性方程。