小学面积难题的关窍，无外乎“等积变换”这四个字
小学面积难题的关窍，无外乎“等积变换”这四个字
在小学数学中，求阴影部分面积是一个常见的难题，尤其是当阴影部分是三角形时。本文将为你揭示解决这类问题的核心原理——等积变换，并通过具体例题展示其应用。
拉窗帘模型：快速解题的利器
小学几何常见难题是求“阴影部分面积”。阴影部分通常又是三角形。这个三角形总不让你轻易知道底和高。不好算了。于是，你就看到网上刷屏的“拉窗帘”模型。
所谓拉窗帘模型就是：两条平行线之间夹的三角形，只要底不变，无论顶点如何移动，面积都不会变。因为，平行线之间的距离是一定的。
利用这一点可以在求阴影面积的题目中“大展拳脚”——
- 小学生的“阴影面积求值”多在正方形中进行；
- 而正方形，有两对平行线。
明白这点，遇到求阴影面积：
- 孩子们要先找平行线和三角形的底边；
- 找到后，把平行线所夹的三角形沿着平行线来回“拉动”；
- 然后把不规则的三角形“拉”到规则位置；
- 这样三角形的面积（阴影部分的面积）就呼之欲出了。
让我们计算红色阴影部分的面积。乍一看不好算。运用拉窗帘模型：
- 找到大正方形的平行线、找到三角形的底边。
- 把不好算的面积1和2部分，转移到3和4部分。
- 接下来，根据边长，就能轻松解答。
是不是感觉很利落、畅快？是，我也觉得挺好——高效解题的爽感谁都想要。
然而，值得注意的是：
- 这是高手总结出来的模型，像这样的模型很多，掌握多了，的确能够快速解题。
- 但模型虽好，我们不能被它框住，要理解背后的本质，才能以不变应万变。
等积变换：解题的本质
三角形的面积公式是s＝½ah。a是底，h是高。等积就是等面积，要使三角形面积相等，有很多种情况：
- 最简单的，底相等、高相等；
- 来点变化，底乘高相等。底和高可以不相等——底可以扩大，高可以缩小。记住这点！
遇到求阴影面积，刻意去找一找面积相等的部分，题目也被你快速解出。举个例子。下图如果用拉窗帘的方法是：找平行线、把三角形变换到合适位置、求解。而等积变换是：
- 看看有没有办法把不好算的阴影部分转移一下。
- 那么转移要么等高等底转移，要么乘积相等转移。
- 在正方形里，通常都是等高等底转移。那么，找到相同的底和高就行了。
两种方法，其实不差什么。“拉窗帘”也没有更便捷，只是更好记——也给不知道如何等积变换的孩子提供了一个抓手。但不要依赖它。因为，在数学中我们更应该重视的是【定性分析】。等积变换属于【定性分析】——它是从概念出发延伸的方法。在数学中有定量分析也有定性分析，定性分析是要在定量分析前面的。也就是要从概念出发，接近更本质的东西，这样可以触达更多。
比如下面这道题，是初中数学的内容。那么，我们也能拉窗帘吗？显然不好使了。这时候我们要用等积变换。先看，菱形，遇到这种特殊四边形，你首先要把对角线连一连。因为所有的几何题，本质上都在算位置关系和数量关系。而特殊四边形的对角线：
互相平分（平行四边形）、互相垂直（菱形）、互相垂直且相等（正方形）、相等且互相平分（矩形），有这么多关系，为何不连？一连，立马找到一对面积相等的三角形。然后，你再把EC连起来。为啥不连？辅助线普通人不可能一下子看出来，见点就连一连，试一试，准没错。一连，又出现了面积相等的三角形。然后，再利用面积比来计算边长比，利用边长比来计算面积……就是这样：
- 通过找面积相等的三角形，不停变换；
- 最终把所有空白部分的三角形面积都计算出来；
- 题目可解了。
解题步骤，我写在下图中。
你看，求阴影面积，等积变换是关窍，而非“拉窗帘”。可以说拉窗帘是快捷方式，但是如果你总依赖快捷方式，格局就打不开。要用更本质的东西去解题，这样才能触类旁通。