终于把统计学中的正态分布搞懂了！！

终于把统计学中的正态分布搞懂了！！

正态分布，又称高斯分布，是统计学中最为重要和常见的概率分布之一。它在自然科学、社会科学、工程技术等诸多领域中广泛应用，用于描述各种随机现象的分布特征。

定义

正态分布描述的是一种连续型随机变量的概率分布，其概率密度函数（PDF）呈现对称的钟形曲线。正态分布由两个参数完全确定：均值（μ）和方差（σ²）。其中，均值决定了分布的中心位置，方差则决定了分布的宽窄程度。

概率密度函数 PDF

正态分布的概率密度函数（PDF）由以下公式给出：

其中

• x 代表随机变量。
• 是正态分布的均值（mean），决定分布的中心位置。
• 是标准差（Standard Deviation），决定曲线的宽窄和峰值高度。
• 为方差（Variance）。

标准正态分布是均值为 0，标准差为 1 的正态分布，其概率密度函数为。

正态分布的基本性质

1. 钟形曲线：正态分布的概率密度函数曲线呈对称的钟形，其中心是均值。左右两侧是对称的。
2. 均值、中位数和众数相等：在正态分布中，均值、中位数和众数都相等，位于分布的中心位置。
3. 68-95-99.7 法则

• 约 68% 的数据位于范围内
• 约 95% 的数据位于范围内
• 约 99.7%的数据位于范围内
  渐近性：正态分布的两端无限延伸，逐渐接近但永不接触横轴。
  独立性和线性组合
• 若随机变量 X 和 Y 独立且均服从正态分布，则它们的和 Z = X + Y 也服从正态分布。
• 若，则对 a 和 b 的线性变换仍然是正态分布。

实际应用

1. 自然现象描述：许多自然现象服从或近似服从正态分布，例如身高、体重、考试成绩、测量误差等。
2. 统计推断：在假设检验、置信区间估计等统计推断方法中，正态分布起着基础性作用。
3. 金融模型：在金融工程中，资产收益率常被假设为服从正态分布，用于风险管理和期权定价等领域。
4. 机器学习与数据分析：许多统计模型和机器学习算法假设数据或误差项服从正态分布，如线性回归、主成分分析等。

案例分享

以下是使用 python 生成正态分布数据并进行可视化的示例代码。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

# 设置正态分布的参数
mean = 0 # 均值
std_dev = 1 # 标准差
num_samples = 10000 # 样本数

# 生成服从正态分布的随机数据
data = np.random.normal(mean, std_dev, num_samples)

# 创建正态分布的概率密度函数 (PDF)
x = np.linspace(mean - 4*std_dev, mean + 4*std_dev, 1000)
pdf = norm.pdf(x, mean, std_dev)

# 绘制直方图和 PDF 曲线
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.hist(data, bins=50, density=True, alpha=0.6, color='skyblue', label='Histogram (Samples)')
plt.plot(x, pdf, 'r-', label='PDF (Theoretical)', linewidth=2)
plt.title('Normal Distribution (Mean=0, Std Dev=1)')
plt.xlabel('Value')
plt.ylabel('Density')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

代码解释

1. 生成数据：使用 numpy.random.normal 函数生成服从正态分布的随机数据，均值为 0，标准差为 1。
2. 直方图：用 matplotlib.pyplot.hist 函数绘制生成数据的直方图，展示其分布情况。
3. 理论曲线：使用 scipy.stats.norm.pdf 函数计算理论正态分布的概率密度函数，并叠加在直方图上。