泰勒公式经典例题讲解_8个常用泰勒公式展开「建议收藏」

泰勒公式经典例题讲解_8个常用泰勒公式展开「建议收藏」

泰勒公式是高等数学中的一个重要知识点，它可以帮助我们理解函数的局部性质，并进行近似计算。本文将详细介绍泰勒公式的定义、证明过程、两种类型的余项、麦克劳林公式，以及泰勒公式的常见题型和解题方法。

一、简介

1.泰勒公式及其证明过程

泰勒公式的一般形式为：

其中为余项,根据需要选择使用佩亚诺型还是拉格朗日型，具体见后文（两种类型的余项）

一次表达式

令

当;

2.两种类型的余项

2.拉格朗日型余项

泰勒中值定理2： 若f(x)在含有的某个邻域内具有n+1阶导数，则对于该邻域内任一点x,(x趋近于),则有,此式子即为拉格朗日型余项

3.麦克劳林公式

注意 ：麦克劳林公式的使用条件：因为x趋近于，而此时，所以x也趋近于零

二、泰勒公式常见题型(的选取很关键)

1.用泰勒公式展开函数

• 方法 ：对原函数多求几次导，找到规律，写出有规律的式子

• 例子 ：求函数f(x)=lnx按(x-2)展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式

,将x=2带入式子，然后写出泰勒展开式

2.用泰勒公式求极限

2.再观察分子分母中哪些式子需要用泰勒展开

5.展开时注意是否可以自变量整体代换如 ，我们知道常用的的泰勒展开式，可以直接用1/x替换x，前提是用来替换的式子必须趋近于零

解：由泰勒公式对转换后 的式子提出一个e，得到，此时对用麦克劳林展 开，将 整体看做x代入的麦克劳林公式，后续步骤比较简 单，这里不给出解答了，最后答案等于

（为什么上一步展开到时不能用整体代入而要先提一个e出来呢？，因为x趋近于无穷，原来的次方 是趋近于1的，而不符合麦克劳林的展开条件x趋近于0，当提出e时，后式就可以直接整体代入，用麦克劳林公式展开）

3.用泰勒公式讨论无穷小的比较

4.用泰勒公式证明等式和不等式（重难点）

1.若只需要证明的结果中不含一阶导数时，可考虑选取题目已知的一阶导数的点或隐含为一阶导数已知的点

证明：将分别在点a，点b泰勒展开得

令,则以上两式相减得

,即证

证明：由题设存在,使f(a)=-1,,对f(x)在a点泰勒展开（即取=a），有

将x=0，x=1代入上式有

若0<a<1/2,由上式得 8″>, 若1/2<=a<1,由下式得，故结论成立

ps：1.想要熟练地掌握泰勒公式并对其加以使用需要琢磨清楚泰勒公式，自己找更多的题练习

2.上述例题摘自《吉米多维奇高等数学练习题》