滤波入门：从零开始理解滤波

滤波入门：从零开始理解滤波

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/navsense_support/article/details/146210928

滤波是信号处理中的一个重要概念，它的目的是去除数据中的噪声，提取有用的信息。本文将从零开始，详细介绍四种基本的滤波方法：均值滤波、中值滤波、指数滤波和高斯滤波。通过理论解释、数学公式、示例代码和优缺点对比，帮助读者理解滤波的基本概念和应用场景。

1. 什么是滤波？

滤波（Filtering）是信号处理中的一个重要概念，它的目的是去除数据中的噪声，提取有用的信息。在很多应用场景中（如传感器数据处理、室内定位、图像处理等），原始数据通常会受到外部环境的干扰，导致数据波动较大，影响后续计算和分析。滤波技术能够减少这些误差，使数据更加平滑、稳定、精准。

1.1 滤波的作用

• 去除噪声：减少数据中的随机波动，使信号更加稳定。
• 平滑数据：在轨迹计算、姿态估计等应用中，滤波可以消除突变点，使曲线更平滑。
• 提高定位精度：在 GNSS、UWB、WiFi、蓝牙等定位系统中，滤波可以减少信号的干扰，提高定位准确性。
• 优化传感器数据：如加速度计、陀螺仪的数据通常有噪声，滤波可以使数据更接近真实值。

2. 最简单的滤波：均值滤波

均值滤波（Mean Filtering）是最基础、最容易理解的滤波方法。

2.1 均值滤波的原理

它的基本思想是取某个时间窗口（或区域）内的数据的平均值，然后用这个均值代替当前值，从而减少数据中的高频噪声，使数据更平滑。

数学表达式

其中：

• N是窗口大小（如 3、5、7）。
• x(j) 是原始数据。
• y(i) 是滤波后的数据。

示例

假设有一组传感器数据： x=[10,12,14,50,16,15,14,13]

使用窗口大小 N=3 进行均值滤波：

• 未滤波数据（包含异常值 50）：10,12,14,50,16,15,14,13
• 滤波后数据（50 被平滑）：11,12,25.33,26.66,27,15,14,13

优点

✅ 计算简单，适用于大多数数据平滑场景。
✅ 在信号变化较平稳的环境下效果较好。

缺点

❌对突变噪声（如 50 这样的离群值）不够鲁棒，容易被极端值拉偏。
❌会导致信号延迟，特别是窗口变大时，滤波后的数据可能滞后于真实值。

3. 解决极端值问题：中值滤波

中值滤波（Median Filtering）是一种比均值滤波更鲁棒的方法，特别适用于有突变噪声的情况。

3.1 中值滤波的原理

与均值滤波不同，中值滤波不计算均值，而是取窗口内数据的中位数，这样就能有效去除突变噪声。

数学表达式

其中：

• median 表示取中位数，即排序后的中间值。

示例

假设原始数据： x=[10,12,14,50,16,15,14,13]

使用窗口大小 N=3 进行中值滤波：

窗口滑动计算如下：

• 未滤波数据（包含异常值 50）：10,12,14,50,16,15,14,13
• 中值滤波后数据（50 被替换成相邻的中位数）：10,12,14,16,16,15,14,13

优点

✅对突变噪声（如 50 这样的异常值）更鲁棒，不会像均值滤波一样被极端值影响。
✅适用于非正态分布数据（即数据分布不均匀的情况）。

缺点

❌无法平滑随机噪声，如果噪声是高斯分布（均匀分布的噪声），均值滤波可能更合适。
❌计算稍复杂，需要对窗口内数据排序。

4. 指数滤波（Exponential Filtering）

指数滤波（Exponential Filtering）是一种加权的均值滤波，它的特点是越新的数据权重越大，可以减少数据延迟的问题。

4.1 指数滤波的原理

在计算新数据点时，不是取简单平均，而是按照指数衰减赋予新数据更高的权重：

其中：

• α 是平滑因子（0 < α < 1），决定了新旧数据的权重：
• α 越大，新数据的影响越大，反应更灵敏。
• α 越小，平滑效果更明显，但数据更新较慢。
• x(i) 是当前数据，y(i−1) 是上一时刻的滤波值。

示例

设原始数据： x=[10,12,14,50,16,15,14,13] 取 α=0.3：

y(1)=10
y(2)=0.3×12+0.7×10=10.6
y(3)=0.3×14+0.7×10.6=11.62

优点

✅不会产生明显的信号延迟，比均值滤波快。
✅可以调整平滑因子 α\alphaα 来控制平滑程度。

缺点

❌对剧烈变化的数据仍然可能滞后，例如瞬间跳变的信号。

5. 高斯滤波（Gaussian Filtering）

高斯滤波（Gaussian Filtering）是一种更加平滑的滤波方法，它对数据的影响是基于高斯分布进行加权的。

5.1 高斯滤波的原理

• 计算方式类似均值滤波，但加权方式不同，使用高斯函数进行加权：
• 类似于均值滤波和中值滤波，高斯滤波也使用滑动窗口（通常为 3×3、5×5、7×7），但窗口内的数据加权不同。
• 权重由高斯函数决定，而不是简单的均值计算。

5.2 计算高斯加权值

窗口内的值并不是等权相加，而是根据高斯函数计算权重。

例如，窗口大小 N=3，对应的高斯权重矩阵（核）可能是：

权重中心最大，远离中心的数值权重逐渐降低。

1. 将窗口内的数据与对应的高斯权重矩阵相乘。
2. 计算所有数值的加权平均，作为新的数据值。
3. 用计算出的新值替换窗口中心的原值。

5.3 具体示例

我们使用相同的窗口大小 3，原始数据：

x=[10,12,14,50,16,15,14,13]

第一步：选取窗口

• 例如在窗口[10, 12, 14]里，我们用高斯权重进行加权平均计算：
  (10×0.06+12×0.098+14×0.06)/(0.06+0.098+0.06)
  最终得到新的值**≈12**。

第二步：计算窗口内数据的高斯加权均值

对于包含50的窗口：

• 原始窗口：[12, 14, 50]
• 高斯加权后： (12×0.06+14×0.098+50×0.06)/(0.06+0.098+0.06)=16.7

为什么高斯滤波比均值滤波好？

• 减少异常值的影响
• 均值滤波 直接计算均值，容易被极端值拉偏，如 50 导致均值 25.33。
• 高斯滤波 给予中心点更高权重，使得 50 影响降低，最终数值只是 16.7，保留了更多的真实信息。
• 平滑效果更好
• 均值滤波 可能会导致数据突然变化，高斯滤波可以让数据平滑过渡，不会突变。
• 不会导致过度平滑
• 均值滤波 可能会导致细节信息丢失，而高斯滤波能够保留更多特征信息。

优点

✅效果比均值滤波更好，能去除高频噪声，同时保留信号的关键特征。
✅适用于图像、轨迹数据的平滑处理。

缺点

❌计算量比均值滤波大，不适用于对实时性要求较高的系统。

四种方法优缺点

代码实现

# 1. 均值滤波（Mean Filter）
def mean_filter(signal, window_size=3):
    return np.convolve(signal, np.ones(window_size)/window_size, mode='same')

# 2. 中值滤波（Median Filter）
def median_filter(signal, window_size=3):
    return np.array([np.median(signal[max(0, i - window_size//2): min(len(signal), i + window_size//2 + 1)]) 
                     for i in range(len(signal))])

# 3. 指数滤波（Exponential Filter）
def exponential_filter(signal, alpha=0.3):
    filtered = np.zeros_like(signal)
    filtered[0] = signal[0]  # 初始化第一个值
    for i in range(1, len(signal)):
        filtered[i] = alpha * signal[i] + (1 - alpha) * filtered[i - 1]
    return filtered

# 4. 高斯滤波（Gaussian Filter）
def gaussian_filter(signal, sigma=1):
    return gaussian_filter1d(signal, sigma)