一阶数字低通滤波器：原理、参数推导与代码实现

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作者:

@小白创作中心

一阶数字低通滤波器：原理、参数推导与代码实现

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/jianmo1993/article/details/145105557

在数字信号处理中，滤波器是一种非常重要的工具，它可以帮助我们从信号中去除不需要的频率成分，保留我们感兴趣的部分。低通滤波器就是其中一种，它允许低频信号通过，同时阻止高频信号。一阶数字低通滤波器是最简单的低通滤波器之一，本文将介绍它的基本原理、推导过程，并给出一个简单的示例代码。

基本原理

一阶数字低通滤波器的工作原理基于简单的递归关系。它可以被看作是一个简单的“滑动平均”过程，其中新的输出值是当前输入值和前一输出值的加权平均。权重由滤波器的参数决定，这个参数也影响了滤波器的截止频率。

假设我们有一个离散时间信号$x[n]$，我们想要设计一个一阶低通滤波器来处理这个信号。滤波器的输出$y[n]$可以表示为：

$$
y[n] = \alpha x[n] + (1 - \alpha) y[n-1]
$$

其中：

$y[n]$是当前的输出样本。
$x[n]$是当前的输入样本。
$y[n-1]$是上一个输出样本。
$\alpha$是滤波器的系数，其取值范围在0到1之间。

这个公式告诉我们，新的输出值是当前输入值的一部分（由$\alpha$控制）加上上一个输出值的一部分（由$1 - \alpha$控制）。$\alpha$取值越小，当前输入权重就越小，输出波形越平滑，但响应灵敏度降低。

参数推导

模拟低通滤波器的传递函数

模拟域中的一阶低通滤波器的传递函数为：

$$
H(s) = \frac{1}{\tau s + 1}
$$

其中，$\tau$是时间常数，$s$是拉普拉斯变换变量。截止频率$f_c$与时间常数$\tau$的关系为：

$$
\tau = \frac{1}{2 \pi f_c}
$$

模拟域到离散域的转换

通过双线性变换 (Bilinear Transformation)，将模拟域的传递函数转换到离散域。双线性变换的关系为：

$$
s = \frac{2}{T} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}
$$

其中，$T = \frac{1}{f_s}$为采样周期，$z$为变换变量。

化简并求滤波系数

将双线性变换代入模拟传递函数$H(s)$并化简，我们可以得到离散域的传递函数，并从中推导出滤波系数$\alpha$：

$$
\alpha = \frac{2 \pi (f_c / f_s)}{1 + 2 \pi (f_c / f_s)}
$$

代码实现

以下是使用Python实现一阶低通滤波器的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

class FirstOrderLowPassFilter:
    def __init__(self, alpha):
        self.alpha = alpha
        self.previous_output = 0

    def filter(self, input_signal):
        output_signal = np.zeros_like(input_signal)
        for i, x in enumerate(input_signal):
            self.previous_output = self.alpha * x + (1 - self.alpha) * self.previous_output
            output_signal[i] = self.previous_output
        return output_signal

# 设定参数
fs = 1000  # 采样频率
fc = 10   # 截止频率
alpha = 2 * np.pi * fc / fs / (1 + 2 * np.pi * fc / fs)  # 计算滤波系数

# 生成测试信号
t = np.linspace(0, 1, fs, endpoint=False)  # 时间向量
input_signal = np.sin(2 * np.pi * 5 * t) + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 300 * t)  # 5Hz和300Hz的正弦波叠加

# 应用滤波器
filter = FirstOrderLowPassFilter(alpha)
output_signal = filter.filter(input_signal)

# 绘制输入信号和滤波后的输出信号
plt.figure(figsize=(12, 6))

# 绘制输入信号
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, input_signal, label='Input Signal')
plt.title('Input Signal')
plt.legend()

# 绘制输出信号
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(t, output_signal, label='Output Signal', color='r')
plt.title('Output Signal')
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

运行结果如下：