漫步微积分三十四——体积计算：圆柱壳法

漫步微积分三十四——体积计算：圆柱壳法

圆柱壳法是微积分中计算体积的一种重要方法，尤其适用于绕坐标轴旋转的立体图形体积计算。本文将通过详细的数学推导和实例分析，帮助读者理解圆柱壳法的基本原理及其在不同场景下的应用。

基本原理

考虑第一象限中由数轴和曲线 $y=f(x)$ 围成的区域。如果这个区域绕 $x$ 轴旋转，那么图中的垂直窄带会生成一个圆盘。我们可以通过从 $x=0$ 到 $x=b$ 区间上积分这些圆盘的体积来得到总体积，这就是上篇文章中描述的圆盘法。

然而，如果区域绕 $y$ 轴旋转，情况就完全不同了。此时垂直窄带会产生很薄的圆柱壳，这个壳可以看作是一个罐头，只是其顶部和底部已被去掉，或者很薄的纸板。其体积 $dV$ 本质上是内圆柱表面积 $2\pi xy$ 乘以厚度 $dx$，因此：

$$
dV = 2\pi xydx \tag{1}
$$

这个壳的半径 $x$ 从 $x=0$ 增长到 $x=b$。从图1可以看出，圆柱壳序列填充沿着轴向外充满了整个物体。因此总体积就是 $dV$ 体积元的和-或积分：

$$
V = \int dV = \int 2\pi xydx = \int_0^b 2\pi xf(x)dx \tag{2}
$$

其中 $y=f(x)$。原则上，体积 $V$ 也可以用水平窄带得到的水平圆盘来计算；然而我们会发现这非常困难，因为给定的方程 $y=f(x)$ 无法用 $y$ 来表示 $x$。

图1

和其他积分的应用一样，等式(1)(2)将涉及到和极限的复杂过程变成简洁的表达式，为了清楚起见，我们忽略这个过程的细节。

应用实例

例1：球体体积计算

上篇文章中我们用圆盘法计算了球体的体积。现在我们用圆柱壳法再次解决这个问题（图2）。图中所示壳的体积为：

$$
dV = 2\pi x(2y)dx = 4\pi x\sqrt{a^2-x^2}dx
$$

因此球体的体积是：

$$
V = 4\pi \int_0^a x\sqrt{a^2-x^2}dx = 4\pi \left(-\frac{1}{3}\right)(a^2-x^2)^{3/2}\Big|_0^a = -\frac{4\pi}{3}(a^2-x^2)^{3/2}\Big|_0^a = \frac{4}{3}\pi a^3
$$

图2

另外，我们考虑一个相关问题：如果一个直径为 $a$ 的垂直洞通过了球中，那么如何找到剩余的体积。为此，显然积分 $dV$ 的区间变成从 $x=a/2$ 到 $x=a$，所以：

$$
V = 4\pi \int_{a/2}^a x\sqrt{a^2-x^2}dx = -\frac{4\pi}{3}(a^2-x^2)^{3/2}\Big|_{a/2}^a = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3}{4}a^2\right)^{3/2} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3\sqrt{3}}{8}a^3\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\pi a^3
$$

这个问题可以用垫圈法解决，不是圆柱壳法更加方便。

例2：旋转体体积计算

$y=x^2$ 上方和 $y=2-x^2$ 下方在第一象限围成的区域绕 $y$ 轴旋转（图3）。为了用圆柱壳法求出体积，通过观察可以看出壳的高度为 $y=(2-x^2)-x^2=2-2x^2$，所以：

$$
dV = 2\pi xydx = 2\pi x(2-2x^2)dx = 4\pi x(x-x^3)dx
$$

因为曲线交点位于 $x=\pm 1$ 处，从而：

$$
V = 4\pi \int_0^1 (x-x^3)dx = 4\pi \left(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x^4\right)\Big|_0^1 = \pi
$$

大家常常错误的积分区域设置为从 $x=-1$ 到 $x=1$。这个不正确的原因可以从几何上理解，圆柱壳横扫从数轴向外横扫物体的半径是从0增加到1，不是从-1增加到1。

注意，如果我们试图用圆盘法解决这个问题，那么它需要计算两个积分-一个是曲线交点下面的体积，另一个是上面的体积。

图3

例3：血流量计算

人类身体主动脉-大动脉-是一个管道，有人类拇指那样大。心脏通过跳动使血液通过动脉，靠近中心的血粒子移动速度约是 $50 cm/s(20 in/s)$。另一方面，血液是粘稠的液体，动脉壁附近的血倾向于黏着在血管壁上，所以它的速度基本上为零。在这些情况下计算总流量的问题就需要用圆柱壳法积分得到。

我们用非常简单的想法开始，如果液体以恒定的速度 $s_0$ 流经圆柱管，那么单位时间通过一个某处的液体体积(流量F)是 $s_0A$， $A$ 是血管的截面面积(图4)。

然而，我们知道，人体动脉中血液流动比这复杂得多。我们假设动脉是圆柱形，长度为 $L$ 半径为 $R$（图5）。因为上面提到的粘度，在薄的圆柱内有血液流动，并且每层移动速度大约恒定而不同层的速度不同。这就是所谓的层流流动，血液在靠近动脉壁附近流速慢而中心位置流速快(如图5所示)，这样的话内部层滑到了外部的前面(图6)。

速度 $s$ 和距中心距离 $r$ 之间的确切关系是：

$$
s = \frac{P}{4\eta L}(R^2-r^2) \tag{3}
$$

图4

其中 $P$ 是动脉之间的压力差， $\eta$ 是血液的粘度。我们注意到，如果速度 $r=R$，那么速度为零；如果 $r=0$，那么速度最大为 $PR^2/4\eta L$。通常用厘米 $(cm)$ 来度量 $R,r,L$，用 $dynes/cm^2$ 来度量 $P$， $dyne-s/cm^2$ 来度量 $\eta$，这样的话 $cm/s$ 度量 $s$。对于人体而言一般 $R=0.2 cm$，常数 $P/4\eta L$ 是500。根据这些值(3)变为：

$$
s = 5000(0.2^2-r^2) = 20-500r^2 \quad cm/s \tag{4}
$$

图5
图6

这个函数图像时抛物线的一部分(图7)并且它还说明随着血粒子靠近血管壁，它的速度趋近于零。中心的速度为 $20 cm/s$，但是当 $r=0.15$ 时，速度只有 $s=20-500(0.15)^2=8.75 cm/s$。

图7

现在，为了计算流量 $F$（单位时间通过某处的总体积），我们写出半径为 $r$ 厚度为 $dr$ 的圆柱壳的流量元 $dF$：

$$
dF = s \cdot 2\pi rdr = \frac{P}{4\eta L}(R^2-r^2) \cdot 2\pi rdr = \frac{\pi P}{2\eta L}(R^2r-r^3)dr
$$

剩下的工作是将所有的壳加起来，即从 $0$ 到 $R$ 进行积分：

$$
F = \int dF = \int_0^R \frac{\pi P}{2\eta L} \int_0^R (R^2r-r^3)dr = \int_0^R \frac{\pi P}{2\eta L} \left(\frac{1}{2}R^2r^2-\frac{1}{4}r^4\right)\Big|_0^R = \frac{\pi P}{8\eta L}R^4
$$

这个公式：

$$
F = \frac{\pi P}{8\eta L}R^4 \tag{5}
$$

心血管生理学领域叫做 Poiseuille's law。它表明流量与动脉半径的四次方成正比，所以半径增加一倍流量要乘以16。