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高中数学集合知识点详解

创作时间:

作者:

@小白创作中心

高中数学集合知识点详解

引用

来源

https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=90

集合是高中数学中的一个重要概念，它涉及到将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。构成集合的事物或对象称作 "元素" 或 “成员"。

集合的定义

简单来说，所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作 "元素" 或 “成员"。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。

元素通常用 $a,b,c,d,x$ 等小写字母來表示；而集合通常用 $A,B,C,D,X$ 等大寫字母來表示。

当元素 $a$ 属于集合 $\mathbf{A}$ 時，记作 $a\in \mathbf{A}$ 。

当元素 $a$ 不属于集合 $\mathbf{A}$ 时，记作 $aotin \mathbf{A}$ 。

如果 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 两个集合所包含的元素完全一样，则二者相等，写作 $\mathbf{A}=\mathbf{B}$

集合的特性

无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。
互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。
确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

集合的表示

集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如:

$A=\text{大于零的前三个自然数}$

$B=\text{光的三原色和白色}$

集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如:

$C=\left\{1,2,3\right\}$

$D=\left\{$ 红色, 蓝色, 绿色, 白色 $\right\}$

尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。

比如：上述集合中， $A=C$ 而 $B=D$ ，因为它们正好有相同的元素。

元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都没有关系。比如：这三个集合 $\left\{2,4\right\}，\left\{4,2\right\}$ 和 $\left\{2,2,4,2\right\}$ 是相同的，同样因为它们有相同的元素。

集合的关系

我们来研究 2 个集合，于是有了集合之间的关系。

第一个重要的概念就是子集。首先，我们规定空集是任意集合的子集! 若 $A$ 不是空集，若 $A$ 中的任意元素都是 $B$ 中的元素，我们称 $A$ 是 $B$ 的子集(subset)，记做 $\mathrm{A}\subseteq \mathrm{B}$ 或者 $B\supseteq {A}_{\text{。}}$

$A\subseteq B=\left\{\begin{array}{c}A=\mathrm{\varnothing }\\ \mathrm{\forall }a\in A,a\in B\left(Ae \mathrm{\varnothing }\right)\end{array}$

例如: "集合 $A=\left\{x\mid a-1<x<2a\right\}$ 是集合 $B=\left\{x\mid -2<x<5\right\}$ 的子集"这句话翻译为数学语言包括:

情况①： $A=\mathrm{\varnothing }$

即 $2a\le a-1⇔a\le -1$ ，这时 $A=\mathrm{\varnothing }$ 一定是集合 $B$ 的子集

情况② : $Ae \mathrm{\varnothing }$ ，即 $a>-1$

这时还需要满足: $\left\{\begin{array}{c}a-1\ge -2\\ 2a\le 5\end{array}$ 即

$-1<a<\frac{5}{2}$

综合起来， $a\le \frac{5}{2}$ 就是 "集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集"

这句话翻译后的数学语言

若 $A\subseteq B$ 且 $A\supseteq B$ ，称集合 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 相等，记为 $A=B$ 。

常用集合的记法

(1) 所有非负整数组成的集合, 称为自然数集, 记作 $\mathbf{N}$.

在自然数集 $\mathbf{N}$ 中, 去掉元素 0 之后的集合, 称为正整数集, 记作 ${\mathbf{N}}_{+}$或 ${\mathbf{N}}^{\ast }$.

(2) 所有整数组成的集合, 称为整数集, 记作 $\mathbf{Z}$.

(3) 所有有理数组成的集合, 称为有理数集, 记作 $\mathbf{Q}$.

(4) 所有实数组成的集合, 称为实数集, 记作 $\mathbf{R}$.

(5) 全体复数组成的集合叫复数集, 记作 $C$.

N：是英语大词 Natural Number 的首字母（通常记忆为Number首字母）。

Z：是德语Zahl 的首字母（通常记忆为Zero首字母），

Q: 是Quotient 商的首字母

R:是 Real Number的首字母

C:是 Complex Number 首字母。

有了集合，就可以很容易表示他们的关系。

真子集

若 $\mathrm{A}\subseteq \mathrm{B}$ 且存在一个元素 $b\in B,botin A$ ，我们称 $\mathrm{A}$ 是 $\mathrm{B}$ 的真子集(proper subset)，记为 $\mathrm{A}\subset \mathrm{B}$ 或者 $\mathrm{A}⊊\mathrm{B}$ 。

例题1

已知集合 $A=\left\{a+2,\left(a+1{\right)}^{2},{a}^{2}+3a+3\right)\right\}$, 若 $1\in A$,求实数$a$的值。

解析：

（1）若$a+2=1$，则$a=-1$,带入得A的集合为 $A=\left\{1,0,1\right\}$ 含有重复元素舍去。

（2）若 $\left(a+1{\right)}^{2}=1$ 的$a=-2$或$a=0$ 此时$A=\left\{0,1,1\right\}$(含有重复元素舍去) 或$A=\left\{2,1,3\right\}$ 满足

（3）若${a}^{2}+3a+3=1$解得$a=-1$或 $a=-2$ 含有重复元素应该舍去。

所以，最终 $a=0$

维恩图

如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图．例如，A是B的真子集，可用下表示．

例1 (单选)设集合 $A,B,C$ 均为非空集合．

A．若 $A\cap B=B\cap C$ ，则 $A=C$

B．若 $A\cup B=B\cup C$ ，则 $A=C$

C．若 $A\cap B=B\cup C$ ，则 $C\subseteq B$

D．若 $A\cup B=B\cap C$ ，则 $C\subseteq B$

解析：对于 $A,A\cap B=B\cap C$ ，当 $A=\left\{1,2\right\},B=\left\{1\right\},C=\left\{1,2,3\right\}$ 时，结论不成立，则 A错误；

对于 B，$A\cup B=B\cup C$ ，当 $A=\left\{1,2\right\},B=\left\{3\right\},C=\left\{1,2,3\right\}$ 时，结论不成立，则 $B$ 错误；对于 C ，因为 $A\cap B\subseteq B,A\cap B=B\cup C$ ，所以 $B\cup C\subseteq B$ ，又 $B\subseteq B\cup C$ ，所以 $B=B\cup C$ ，则 $C\subseteq B$ ，则 C 正确；

对于 D，$A\cup B=B\cap C$ ，当 $A=\left\{1\right\},B=\left\{1,2\right\},C=\left\{1,2,3\right\}$ 时，结论不成立，则 D 错误；故选：C．

例2 如图，三个圆的内部区域分别代表集合A，B，C，全集为I，则图中阴影部分的区域表示