RC高通滤波器Bode图分析：传递函数与零极点详解
RC高通滤波器Bode图分析：传递函数与零极点详解
RC高通滤波器是一种常见的电子滤波器，广泛应用于信号处理领域。本文将详细介绍RC高通滤波器的Bode图分析，包括传递函数、零极点、截止频率等关键概念，并通过MATLAB代码展示具体的计算和绘图过程。
RC高通滤波器
我们设定电阻R为1K欧姆，电容C为1微法。
传递函数
传递函数是描述系统输入输出关系的重要工具。对于RC高通滤波器，其传递函数可以表示为：
$$
H(s) = \frac{u_o}{u_i} = \frac{R}{X_C + R} = \frac{R}{\frac{1}{sC} + R} = \frac{sRC}{1 + sRC}
$$
其中，$s = j\omega$。
进一步整理可得：
$$
H = \frac{(\omega RC)^2 + j\omega RC}{1 + (\omega RC)^2}
$$
由上式可得出传递函数的实部和虚部：
$$
\begin{matrix}
real = \frac{(\omega RC)^2}{1 + (\omega RC)^2} \
image = \frac{\omega RC}{1 + (\omega RC)^2}
\end{matrix}
$$
进一步求出幅值和相位表达式：
$$
\begin{matrix}
幅值 = \sqrt{real^2 + image^2} = \sqrt{\frac{(\omega RC)^2}{1 + (\omega RC)^2}} \
相位 = arctan\left(\frac{image}{real}\right) = arctan\left(\frac{1}{\omega RC}\right) \
(其中 \omega = 2\pi f)
\end{matrix}
$$
截止频率
截止频率是滤波器的重要参数，表示信号幅度衰减到原值的$\frac{1}{\sqrt{2}}$（约-3dB）时的频率。对于RC高通滤波器，截止频率计算公式为：
$$
f_r = \frac{1}{2\pi RC}
$$
零点与极点
零点和极点是传递函数的重要特征，它们决定了系统的频率响应特性。
零点
令传递函数的分子为0可求出零点：
$$
s = 0
$$
极点
令传递函数的分母为0可求出极点：
$$
s = -\frac{1}{RC}
$$
Bode图绘制与分析
Bode图是描述系统频率响应的重要工具，包括幅频特性和相频特性两部分。下面使用MATLAB绘制RC高通滤波器的Bode图。
MATLAB代码
R = 1000;
C = 1 * 10^(-6);
H = tf([(R*C) 0], [(R*C) 1]);
% 获取零极点
z = zero(H);
p = pole(H);
opts = bodeoptions;
opts.FreqUnits = 'Hz'; % 设置频率单位为Hz
bode(H, opts);
grid on
% 获取当前坐标轴
h = findobj(gcf, 'Type', 'axes');
% 设置增益图的横纵坐标显示值
set(h(1), 'XScale', 'log'); % 设置横坐标为对数刻度
set(h(1), 'XLim', [0, 1000000]);
set(h(1), 'XTick', [0, 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000]); % 设置横坐标刻度
set(h(1), 'YLim', [-40, 0]); % 设置纵坐标范围
set(h(1), 'YTick', [-40, -30, -20, -10, 0]); % 设置纵坐标刻度
% 设置相位图的横纵坐标显示值
set(h(2), 'XScale', 'log'); % 设置横坐标为对数刻度
set(h(1), 'XLim', [1, 1000000]);
set(h(2), 'XTick', [0, 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000]); % 设置横坐标刻度
%set(h(2), 'YLim', [0, 90]); % 设置纵坐标范围
set(h(2), 'YTick', [0, 15, 30, 45, 60, 75, 90]); % 设置纵坐标刻度
% 计算截止频率
cutoff_freq = 1 / (2 * pi * R * C); % 截止频率（Hz）
% 在增益图上标示零点和极点
for i = 1:length(h)
if i == 1 % 增益图
% 标示零点
for j = 1:length(z)
if ~isinf(z(j)) % 排除无穷大
hold on;
% 将零点从弧度转换为赫兹
freq_hz = real(z(j)) / (2 * pi);
plot([freq_hz, freq_hz], [-90, 90], 'r--'); % 画虚线
text(freq_hz, 90, sprintf('Zero: %.2f Hz', freq_hz), 'Color', 'r'); % 添加文本标注
end
end
% 标示极点
for j = 1:length(p)
if ~isinf(p(j)) % 排除无穷大
hold on;
% 计算频率
freq_hz = (p(j)) / (2 * pi); % 使用虚部计算频率
% 处理负频率
if freq_hz < 0
freq_hz_positive = -freq_hz; % 转换为正频率
else
freq_hz_positive = freq_hz; % 保持正频率
end
% 标示正频率
plot([freq_hz_positive, freq_hz_positive], [-100, 10], 'g--'); % 画虚线
text(freq_hz_positive, 80, sprintf('Pole: %.2f Hz', freq_hz_positive), 'Color', 'g'); % 添加文本标注
end
end
elseif i == 2 % 相位图
% 标示零点
for j = 1:length(z)
if ~isinf(z(j)) % 排除无穷大
hold on;
% 将零点从弧度转换为赫兹
freq_hz = real(z(j)) / (2 * pi);
plot([freq_hz, freq_hz], [-90, 90], 'r--'); % 画虚线
text(freq_hz, 90, sprintf('Zero: %.2f Hz', freq_hz), 'Color', 'r'); % 添加文本标注
end
end
% 标示极点
for j = 1:length(p)
if ~isinf(p(j)) % 排除无穷大
hold on;
% 计算频率
freq_hz = (p(j)) / (2 * pi); % 使用虚部计算频率
% 处理负频率
if freq_hz < 0
freq_hz_positive = -freq_hz; % 转换为正频率
else
freq_hz_positive = freq_hz; % 保持正频率
end
% 标示正频率
plot([freq_hz_positive, freq_hz_positive], [-100, 10], 'g--'); % 画虚线
text(freq_hz_positive, -80, sprintf('Pole: %.2f Hz', freq_hz_positive), 'Color', 'g'); % 添加文本标注
end
end
% 标示截止频率
hold on;
plot([cutoff_freq, cutoff_freq], [-90, 90], ':'); % 画截止频率虚线
text(cutoff_freq, 70, sprintf('Cutoff: %.2f Hz', cutoff_freq), 'Color', 'b');
end
end
Bode图分析
- 截止频率处：在$f = f_r \approx 159.15Hz$处，对应的幅值和相位计算如下：
$$
\begin{matrix}
幅值 = \sqrt{\frac{(2\pi f_r RC)^2}{1 + (2\pi f_r RC)^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}（即 -3dB） \
相位 = arctan\left(\frac{1}{2\pi f_r RC}\right) = arctan(1) = 45°
\end{matrix}
$$
- 截止频率左侧：当$f << f_r$时，对应的幅值和相位计算如下：
$$
\begin{matrix}
幅值 = \sqrt{\frac{(2\pi fRC)^2}{1 + (2\pi fRC)^2}} \
（随着频率减小幅值减小，斜率为20dB/10dec，即频率每减小10倍，幅值衰减20dB） \
相位 = arctan\left(\frac{1}{2\pi fRC}\right) = arctan(∞) = 90°
\end{matrix}
$$
- 截止频率右侧：当$f >> f_r$时，对应的幅值和相位计算如下：
$$
\begin{matrix}
幅值 = \sqrt{\frac{(2\pi fRC)^2}{1 + (2\pi fRC)^2}} \approx 1（即0dB） \
相位 = arctan\left(\frac{1}{2\pi fRC}\right) = arctan\left(\frac{1}{∞}\right) = 0°
\end{matrix}
$$
- 极点与零点的影响：
- 每增加一个极点，可以使得Bode图的幅值变化-20dB/dec，相位变化-90°；
- 每增加一个零点，可以使得Bode图的幅值变化20dB/dec，相位变化90°；
- 对于RC高通滤波器来说，其极点对应的频率与截止频率数值上相等，Bode图上也可以看出，均为159.19Hz；
通过本文的介绍，读者可以深入了解RC高通滤波器的Bode图分析方法，掌握传递函数、零极点、截止频率等关键概念，并能够使用MATLAB进行实际计算和绘图。