线性代数的终极彩蛋：矩阵就是图

线性代数的终极彩蛋：矩阵就是图

线性代数中一个被低估的事实：矩阵与图之间存在着深刻的联系。这种联系不仅让复杂的数学概念变得直观易懂，还为机器学习等领域提供了强大的工具。

让我们从一个简单的例子开始。考虑以下矩阵：

每一行代表一个节点，每个元素代表一条有向加权边。我们省略了所有权重为零的边。第i行第j列的元素对应着从i到j的一条边。

比如，我们来看第一行，它对应着从第一个节点出发的所有边：

同理，第一列对应着所有指向第一个节点的边：

这样，我们就得到了完整的图：

这个表示方法在很多领域都有应用。但是，它的威力远不止于此。矩阵的幂对应着图中的"行走"。看看矩阵的平方，所有可能的2步行走都被考虑在内了：

如果这个有向图表示的是马尔可夫链的状态，那么它的转移概率矩阵的平方本质上就显示了链在两步之后处于某个状态的概率。

这还只是冰山一角。让我们介绍"强连通分量"的概念。一个有向图如果从任何节点都能到达任何其他节点，就叫做强连通的。如果不是这样，那就不是强连通的。

对应于强连通图的矩阵被称为不可约的。所有其他非负矩阵被称为可约的。

即使不是所有的有向图都是强连通的，我们也可以将节点划分为强连通分量：

让我们给这个图的节点贴上标签，然后构造对应的矩阵：

这个图对应的矩阵可以简化成一个更简单的形式！它的对角线由一些块组成，这些块的图是强连通的。而且，对角线下方的块是零。

一般来说，这种块矩阵结构被称为Frobenius标准型。那么，反过来，我们能把任意非负矩阵变成Frobenius标准型吗？答案是肯定的，而且借助有向图，这比纯粹使用代数要容易得多。

这还只是冰山一角。例如，借助矩阵，我们甚至可以定义图的特征值！利用矩阵和图之间的关系，对图论和线性代数都产生了极大的推动作用。

这个连接确实非常重要。Santiago最后也强调，这个帖子只是完整内容的30%左右。如果想了解更多，可以去看Tivadar的书。你找不到比这更好的解释了。相信我，这是你想读的书。

看完这个帖子，有没有再次感受到数学才是科学的基础？数学就像一个巨大的宝库，每一个概念背后都隐藏着无数的宝藏。只是我们平时学习的时候，往往只看到了表面，没有深入挖掘。Tivadar 书中展示的，就是其中一个宝藏。它不仅让我们对线性代数有了新的理解，还能让人们更轻松地通向机器学习的大门。