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线性代数：线性方程组解的结构

创作时间:

作者:

@小白创作中心

线性代数：线性方程组解的结构

引用

来源

http://www.360doc.com/content/24/1024/12/71872132_1137502632.shtml

在线性代数的学习中，线性方程组的解的结构是一个核心且重要的知识点。本文将从基本概念出发，系统地探讨齐次和非齐次线性方程组解的性质、结构和求解方法，帮助读者深入理解这一关键内容。

在前面内容的讨论中，我们利用矩阵和向量组的理论陆陆续续地得到了一些线性方程组的重要结论. 比如，给出了判断线性方程组有解的条件、线性方程组的求解方法等. 对于线性方程组无解或者解唯一的情况相对是比较确定的，如果线性方程组的解有无穷多个时，从有限到无穷我们说一般会产生新的问题，那么，当解的集合中包含无穷多解向量时具有怎样的特点？通解表达式会包含怎样的原理？在这一讲中我们将对这类情况进行进一步的研究与探讨。

本讲的任务：在向量组和向量空间理论相关理论的基础上，研究线性方程组解之间的关系，给出一些线性方程组的解的结构性质，方便更好的给出方程组的求解方法与给出更有效的解的描述形式。

一、关于线性方程组解的一些基本结论

对于齐次线性方程组
如果将系数矩阵分割为列向量描述，
则齐次方程组有矩阵形式和向量形式
如果常数项为，则有非齐次线性方程组有矩阵形式和向量形式

对齐次线性方程组下列命题等价:
(1)有非零解（只有零解）；
(2) 存在一组不全为 0 的数（当且仅当全为 0 时），使得
(3) 矩阵的列向量组线性相关（线性无关）；
(4).

【注】(1) 特别地，当(未知数的个数大于方程个数) 时，一定线性相关.
(2) 当系数矩阵为方阵，且时，则只有零解，此时，矩阵的列向量组线性无关.
(3) 齐次线性方程组始终有一个零解.

对非齐次线性方程组下列命题等价:
(1)有解；
(2)能被线性表出，即
(3)的极大线性无关组也是的极大线性无关组；
(4).

【注】当时，方程组有无穷多个解；当，方程组有唯一解.

二、齐次线性方程组解的结构

性质1如果是齐次线性方程组的解，则也是它的解.

【证明】：因为是齐次线性方程组的解，故，于是
即也是它的解.

性质 2如果是齐次线性方程组的解，则也是它的解.

【证明】：因为是齐次线性方程组的解，故，故可得
即也是它的解. 当时也成立.

定义1 记齐次线性方程组的全体解的集合为
则构成的向量子空间，并称称为齐次线性方程组的解空间。

性质3如果是齐次线性方程组的解，则它们的线性组合
也是的解, 其中.

【证明】: 因为是齐次线性方程组的解，故，，由于
所以也是它的解.

定义 2齐次线性方程组的解空间的任意一组基称为该方程组的基础解系. 即若为的一个基础解系，则它满足以下条件
(1);
(2)线性无关;
(3) 该方程组的任意解都可以表示为的线性组合.

【注】(1)的基础解系不唯一。
(2) 仅当有非零解时才有基础解系.
(3) 当为的一个基础解系时，齐次线性方程组的通解或一般解可以描述为
其中。

定理设含有个未知数的齐次线性方程组的系数矩阵，则方程组有含解向量个数为的基础解系，即方程组解空间的维数
我们知道，方程组的系数经过初等行变换可化成最简行阶梯形
与之对应的同解齐次线性方程组为
取为基本末知量，为自由末知量，取
则方程组的通解可以写为
其中。取
由上式知道，它的线性组合表示了方程组的所有解，即表示了的解空间中的元素；其次，可以可看到该个向量线性无关，由此可以得到如下结论：
(1)是的个解；
(2)线性无关;
(3) 任意一个解都可由线性表示.
(4)是解空间的一个基础解系.
(5).
(6)的通解为
其中.

【注】(1)系数矩阵的齐次线性方程组的基础解系是通过分别取自由未知数其中一个为 1 ，其它为 0 得到的解向量.
(2)系数矩阵的齐次线性方程组的任意个线性无关的解都能构成基础解系。
(3)该定理不仅给出了齐次线性方程组解空间的维数，而且在向量空间维数与矩阵的秩之间建立了内在联系，为分析和解决与矩阵秩有关的问题提供了一种重要的方法。
(4)以上分析过程也进一步明确了求解齐次线性方程组通解的过程，概括起来大致有如下几步:
第一步：解的判定：把系数矩阵化为行阶梯形，如果是方阵也可计算行列式. 如果系数矩阵（为末知数的个数），或者行列式，则方程组只有零解，直接得解。如果，或在有非零解的情况下，将系数矩阵通过行初等变换化简为最简行阶梯形，并记作，并写出同解方程组；
第二步: 求基础解系. 在方程组中，分别取自由未知数其中一个为 1 ，其它为 0 得到的解向量，即
依次代入方程组中，即解得基础解系向量。
第三步: 利用基础解系直接写出通解，通解的形式为
其中。

例1求的通解.

【解】：对系数矩阵进行初等行变换
故，并且可知化简后的同解方程组为
取自由未知数为，并分别取和，代入同解方程组，得
对应的基础解系则为
因此齐次线性方程组的通解为
其中为任意实数.

例 2证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是该方程组的基础解系.

【证明】：设是的一个基础解系，故线性无关. 由于两个等价的线性无关的向量组所含向量个数是相等的，故可设是之等价的一个线性无关的向量组，则可由线性表出，故由齐次线性方程组的解的结构性质知，也的解。
由于齐次线性方程组任一解均可由基础解系线性表出，而由两向量组等价知，也可以由线性表出，从而可知齐次线性方程组的任一解也可由线性表出. 又线性无关，于是由基础解系的定义知也是的一个基础解系。

例 3设，证明：
【证明】：将分块为列向量，即
则由知
这说明是齐次线性微分方程的解，所以向量值的秩小于等于解空间的维数，而解空间的维数为，所以有
移项即得

例4设为实矩阵，证明：
【证明】：先证明两个齐次线性方程组是同解方程组。
（1）设是的一个解，两边左乘得，因此也是的一个解。
(2) 设是一个解，两边左乘得，即
记，得
因此，即。所以也是的一个解.
综合可知两个方程组的解空间相同，从而可知
所以.

【注】：对于复矩阵等式不一定成立.
例如，，其中，则，而.

三、非齐次线性方程组解的结构

类似的解的结构性质的讨论，对于齐次线性方程组的解集也有一些独特的结构性质. 对于非齐次线性方程组，称齐次线性方程组称为的导出方程组。

性质1设是非齐次线性方程组的两个解，则是其导出方程组的解。

【证明】：因为是的解，故有，所以
即是对应的齐次线性方程组的解。

性质2设是非齐次线性方程组的解，是导出方程组的解，则是非齐次线性方程组的解.

【证明】：由题设可知，于是可得
即是的解.

性质3(结构定理)设为非齐次线性方程组的一个解（特解），是导出方程组的通解，则为非齐次线性方程组的通解. 也即如果是的一个特解，是的一个基础解系，则的通解为
其中为任意常数.

性质4(线性叠加)设为非齐次线性方程组的解，为非齐次线性方程组的解，则为的解. 进一步，如果是非齐次线性方程组的解，则对任意实数是
的解，且当时，是的解；当时，是的解.

性质 5非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是导出方程组只有零解.

【注】：(1)非齐次线性方程组的解不包括 0 向量，因此，由向量空间的定义知，非齐次线性方程组的解集不构成一个向量空间.
(2)有无穷多解，则有非零解（无穷多解）；但有非零解（无穷多解)，不一定有无穷多解（可能无解）。
(3)由结构性质可以得到求非齐次线性方程组通解的步骤：
第一步：把增广矩阵化为最简行阶梯形，记为，写出同解方程组
第二步：求的一个解，最简单的方法是令所有自由未知量为 0 代入进行求解；
第三步: 求导出方程组基础解系；最直接的方法是对自由末知量依次令其中一个为 1 ，其余为 0 代入求得解向量构成基础解系；
第四步：直接利用结构定理写出通解为
其中为任意常数.

例 5求非齐次线性方程组的通解
【解】：对增广矩阵做初等行变换，有
由于，所以方程组有无穷多解. 同解方程组为
取为基本末知数，为自由末知数，令，解得非齐次线性方程组的一个特解为
导出齐次线性方程组的通解方程组为
令代入求解得基础解系为
即导出方程组的通解为
故由解的结构定理得非齐次线性方程组的通解为
其中为任意实数.

例6设线性无关，且
记，求的通解。

【解】:由已知条件，知有一个特解
再考虑的通解. 因为线性无关，且可由线性表示，所以的解空间维数为 1，即的基础解系只包含一个非零解向量.将移项得
得一个基础解系为. 故由解的结构性质可得的通解为
其中为任意实数.

例7设四阶方阵的秩为，且，其中
求非齐次方程组的通解。

【解】：由于系数矩阵，故方程组的基础解系包含两个线性无关的解向量. 由解的结构性质可知
为的解且线性无关，可知这两个向量可作为的基础解系. 又由非齐次线性方程组的解的线性叠加性质可知
是的一个解. 所以由非齐次线性方程组解的结构定理知的通解为
其中为任意实数.