一文读懂插值法
一文读懂插值法
插值法是一种根据一组已知数据点构建函数的方法，使得该函数在这些数据点上与原函数相等。这种方法在数值分析、工程计算、计算机图形学等领域有着广泛的应用。本文将详细介绍插值法的基本概念、常见的一维插值方法以及二维插值方法。
插值方法简介
插值法是根据一组数据点（x0, y0），（x1, y1），…，（xn, yn）建立一个便于计算的初等函数或曲线y = f(x)，使它通过这些给定的数据点：
f(x0) = y0，f(x1) = y1，…，f(xn) = yn
用这种方法所得的近似公式叫插值公式，已知的数据点叫节点。
一维插值方法
拉格朗日多项式插值
拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。从理论和计算角度看，多项式是最简单的函数之一。
已知函数f(x)在互不相同的n+1个点x0, x1, …, xn处的函数值为y0, y1, …, yn，求n次多项式函数Ln(x)，使其满足：
其中Ln(x)称为f(x)的插值函数，也称为n次拉格朗日插值多项式。
拉格朗日插值公式：
其中lk(n)是拉格朗日插值基函数
不难看出，lk(n) = 1, x = xk; lk(n) = 0, x ≠ xk
可以这样子简记：分子和分母形式是一样的，项数也是一样多的，分子只是把分母的xk变成了x，并且在连乘的时候去掉了让分母等于0的那一项，也就是xk的那一项。
- n=1时：线性插值
- n=2时：抛物线插值
n = 2时，构造通过三个点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)的多项式如下
Lx(x) = l0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2
在x = xi时等于1
二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y = ax²+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
关于基函数的理解
和上面所说的一样，li(x)就在x = xi的时候取值为1，其他时候取值为0
龙格现象
在用插值方法进行函数近似时，当使用高次插值多项式逼近复杂函数时，插值函数在边界处出现剧烈震荡的现象。这种现象主要是由于在边界处使用高次多项式时，插值函数在边界处的震荡效应导致的。而且节点越多龙格现象越明显。
因此高阶多项式并不是最好的选择
拉格朗日插值法的优缺点
分段线性插值
由于高次插值多项式存在的振荡缺陷和计算复杂度高等缺点，促使人们转而寻求简单的分段低次多形式插值。
分段低次插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上做满足一定条件的低次插值。
简单的说，将每两个相邻节点用直线连接起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数。插值函数在[xi-1, xi]上的表达式为：
用分段线性插值计算时，只用到x左右两个节点，计算量与节点个数无关。但是n越大，分段越多，插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了。
分段线性插值法的优缺点
三次样条插值
分段插值虽然计算简单，但是光滑性较差。
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。
三次样条插值就是一个很好的例子
三次样条函数 记为S(x)，它是定义在区间[a, b]上的函数，满足以下两个条件：
- S(x)在每一个小区间[xi-1, xi]上是一个三次多项式函数；
- 在整个区间[a, b]上，其二阶导数存在且连续。 即在每个节点处的二阶导数连续.
三次样条函数求解
参数：每个小段上4个，n个小段共计4n个。
方程：
- 每个小段上由给定函数值得到2个，n个小段共计2n个
- 光滑性要求每一个内部节点的一阶二阶导数连续，得出其左右导数相等。因此，每个节点产生2个方程，共记2n-2个
现在得到了4n-2个方程，还差两个。为此，常用的方法是对边界节点除函数值外附加要求，这就是所谓的边界条件。这里需要两个边界条件，正好左右两个端点各一个。
有三种边界条件，这样子就一共有4n个方程了。常用的有自然边界条件M0=Mn=0
应用
应用1：神经网络激活函数
应用2：色调映射
应用3：色彩增强
总结
- 拉格朗日多项式插值：这是最基础的一种插值方法，通过给定的数据点构造一个多项式函数，使得该函数在这些数据点上与原函数相等。这种方法虽然简单直观，但在节点较多时可能会出现“龙格现象”，即插值多项式的振荡幅度会变得非常大，导致插值效果不佳。
- 龙格现象：这是指当使用高次多项式进行插值时，在数据点之间会出现较大的振荡，尤其是在数据点的两端。这种现象会导致插值结果在某些区间内偏离真实函数值较远。
- 分段低次插值：为了解决龙格现象，人们提出了分段低次插值的方法。这种方法将整个插值区间分成若干个子区间，在每个子区间内使用较低次数的多项式进行插值。这样可以避免高次多项式带来的振荡问题，但可能会导致插值曲线在子区间边界处不光滑。
- 分段线性插值：这是一种特殊的分段低次插值，其中每个子区间内的插值多项式是一次多项式（即直线）。这种方法简单易行，但插值结果可能不够平滑。
- 分段二次插值和三次样条插值：为了进一步提高插值曲线的光滑性，人们提出了分段二次插值和三次样条插值。这两种方法在每个子区间内使用二次或三次多项式进行插值，并且在子区间边界处保证一阶或二阶导数的连续性，从而得到更加平滑的插值曲线。
二维插值方法
二维插值是一种通过已知的离散点数据，在二维平面上推算出其他位置的数值的方法。
常见的二维插值情况有节点均匀和节点不均匀两种。
节点均匀（网格）
已知z = f(x, y)在一些点取值，节点分布很均匀，落在由一系列平行直线组成的矩形网络的各个顶点上
节点不均匀（散点）
节点分布散乱
二维插值举例：
步骤：
- 确定4个近邻像素
- 在x轴进行插值
- 在y轴进行插值
左上角蓝色的点计算步骤：
x轴插值结果：8-7/4=6.25 3+2/4=3.5
y轴插值结果：6.25-(6.25-3.5)/4=5.5625
左上角红色点为6.25，中间红色的点为3.5，所以左上角的蓝色的点需要用两个红色点表示出来。