微积分-反函数6.1（反函数）

微积分-反函数6.1（反函数）

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_45911156/article/details/142292263

反函数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数输入和输出的逆向关系。本文通过一个细菌生长的实例，逐步引入反函数的概念，并详细探讨了一一对应函数、反函数的求法以及反函数的微分等核心内容。

表1提供了一项实验的数据，其中细菌培养物在有限营养基中以100个细菌开始；在定时记录下细菌数量随时间的变化。细菌数量N是时间t的函数：N = f(t)。

然而，假设生物学家改变了她的观点，开始对细菌群体达到不同水平所需的时间感兴趣。换句话说，她将时间t视为N的函数。这个函数称为f的反函数，记作f^{-1}，读作“f的反函数”。因此，t = f^{-1}(N)是细菌群体达到数量N所需的时间。可以通过从表1中从右到左读取数据，或参考表2来找到f^{-1}的值。例如，f^{-1}(550) = 6，因为f(6) = 550。

表1 N随时间t的变化

表2 t随N的变化

并非所有函数都具有反函数。让我们比较一下函数f和g，它们的箭头图示如图1所示。注意，f从不取相同的值（任何两个在集合A中的不同输入都有不同的输出），而g则在两次取相同的值（2和3都有相同的输出4）。用符号表示：

g(2) = g(3)

但是，

f(x_1) \neq f(x_2) \quad \text{where} \quad x_1 \neq x_2

具有与函数f相同性质的函数称为一一对应函数。

定义 1 如果一个函数f从不取相同的值，即：

f(x_1) \neq f(x_2) \quad \text{当} \quad x_1 \neq x_2 \quad \text{时}

那么这个函数被称为一一对应函数。

如果一条水平线与图形相交于不止一点，那么我们可以从图2看到存在某些x_1和x_2，使得f(x_1) = f(x_2)。这意味着f不是一一对应函数。因此，我们有以下几何方法来确定一个函数是否是一一对应函数。

水平线测试 如果且仅如果没有水平线与图形相交超过一次，函数是一一对应函数。

例1 函数f(x) = x^3是一一对应的吗？

解1 如果x_1 \neq x_2，那么x_1^3 \neq x_2^3（两个不同的数不能有相同的立方值）。因此，根据定义 1，函数f(x) = x^3是一一对应的。

解2 从图 3 我们可以看到，没有水平线会与函数f(x) = x^3的图像相交超过一次。因此，根据水平线测试，函数f是一一对应的。

例2 函数g(x) = x^2是一一对应的吗？

解1 这个函数不是一一对应的，因为，例如：

g(1) = 1 = g(-1)

因此，1 和 -1 有相同的输出。

解2 从图4我们可以看到，有水平线与函数g的图像相交超过一次。因此，根据水平线测试，函数g不是一一对应的。

定义 2 设f是一个定义域为A、值域为B的一一对应函数。那么它的反函数f^{-1}的定义域是B、值域是A，且定义如下：

f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y

对于任何y \in B。

这个定义说明，如果f将x映射为y，那么f^{-1}将y映射回x。(如果f不是一一对应的，那么f^{-1}就不会是唯一确定的。) 图 5 中的箭头图说明了f^{-1}逆转了f的作用。请注意：

domain of f^{-1} = range of f

range of f^{-1} = domain of f

例如，函数f(x) = x^3的反函数是f^{-1}(x) = x^{1/3}，因为如果y = x^3，那么

f^{-1}(y) = f^{-1}(x^3) = (x^3)^{1/3} = x

注意事项 请不要将f^{-1}中的“-1”误认为是指数。因此，

f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)}

倒数\frac{1}{f(x)}应写作[f(x)]^{-1}。

例3 如果f(1) = 5，f(3) = 7，并且f(8) = -10，找到f^{-1}(7)，f^{-1}(5)，和f^{-1}(-10)。

解 根据f^{-1}的定义，我们有：

f^{-1}(7) = 3 \quad \text{because} \quad f(3) = 7

f^{-1}(5) = 1 \quad \text{because} \quad f(1) = 5

f^{-1}(-10) = 8 \quad \text{because} \quad f(8) = -10

图 6的示意图清楚地显示了在此例中，如何通过f^{-1}来逆转f的效果。

字母x通常用作自变量，因此当我们关注f^{-1}而不是f时，通常会在定义2中交换x和y的角色，并写为：

f^{-1}(x) = y \quad \Longleftrightarrow \quad f(y) = x \tag{3}

通过在定义2中代入y并在 (3) 中代入x，我们得到以下消去方程：

f^{-1}(f(x)) = x \quad \text{for every x in A}

f(f^{-1}(x)) = x \quad \text{for every x in B}

第一个消去方程表示，如果我们从x开始，应用f，然后应用f^{-1}，我们会回到x，即我们开始的地方（参见图7的机器图）。因此f^{-1}撤消了f的操作。第二个方程表示f撤消了f^{-1}的操作。

例如，如果f(x) = x^3，那么f^{-1}(x) = x^{1/3}，因此消去方程变为：

f^{-1}(f(x)) = (x^3)^{1/3} = x

f(f^{-1}(x)) = (x^{1/3})^3 = x

这些方程仅说明立方函数和立方根函数在连续应用时相互抵消。

5 如何求一个一对一函数f的反函数

步骤 1 写y = f(x)。

步骤 2 尽可能把方程解为x关于y的表达式。

步骤 3 要将f^{-1}表示为x的函数，交换x和y。结果方程为y = f^{-1}(x)。

例4 求函数f(x) = x^3 + 2的反函数。

解答 根据步骤 (5)，我们首先写成：

y = x^3 + 2

然后我们解这个方程的x：

x^3 = y - 2

x = \sqrt[3]{y - 2}

最后，我们交换x和y：

y = \sqrt[3]{x - 2}

因此，反函数为：

f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 2}

交换x和y来求反函数的原理也给了我们从函数f的图像中得到反函数f^{-1}图像的方法。由于f(a) = b当且仅当f^{-1}(b) = a，点(a, b)在f的图像上当且仅当点(b, a)在f^{-1}的图像上。但是，我们通过将(a, b)关于直线y = x反射得到点(b, a)（见图8）。

因此，如图9所示：

反函数f^{-1}的图像是通过将函数f的图像关于直线y = x反射得到的。

例5 在同一个坐标系中画出f(x) = \sqrt{-1 - x}及其反函数的图像。

解 首先我们画出曲线y = \sqrt{-1 - x}（抛物线y^2 = -1 - x的上半部分，或者x = -y^2 - 1），然后我们将其关于直线y = x反射，得到反函数f^{-1}的图像。（参见图10。）为了检查我们的图像，注意反函数f^{-1}的表达式是f^{-1}(x) = -x^2 - 1, x \geq 0。因此，f^{-1}的图像是抛物线y = -x^2 - 1的右半部分，这从图10看来是合理的。

反函数的微积分

现在让我们从微积分的角度来看反函数。假设函数f是既一对一又连续的。我们认为连续函数是图像没有中断的函数（它只由一部分组成）。由于通过关于直线y = x反射f的图像可以得到f^{-1}的图像，且f^{-1}的图像也没有中断（参见图9），因此我们可以期望f^{-1}也是一个连续函数。

这个几何论证并没有证明以下定理，但至少使该定理看起来合理。

6 定理 如果f是定义在一个区间上的一对一的连续函数，那么它的反函数f^{-1}也是连续的。

现在假设f是一个一对一的可微函数。几何上，我们可以认为可微函数是没有拐角或折痕的图像函数。我们通过反射函数f的图像关于直线y = x来获得f^{-1}的图像，因此f^{-1}的图像也没有拐角或折痕。因此，我们期望f^{-1}也是可微的（除了切线是垂直的点）。事实上，我们可以通过几何论证来预测f^{-1}在给定点的导数值。

在图11中展示了f和它的反函数f^{-1}的图像。如果f(b) = a，那么f^{-1}(a) = b，并且(f^{-1})'(a)是f^{-1}的图像在点(a, b)的切线斜率，即\Delta y / \Delta x。通过反射y = x的直线，我们交换了x和y坐标。因此，反射后的直线\ell（即(b, a)处f^{-1}图像的切线）斜率为\Delta x / \Delta y。因此，直线L的斜率是\ell斜率的倒数，也就是：

(f^{-1})'(a) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x / \Delta y} = \frac{1}{f'(b)}

7 定理 如果f是一对一的可微函数，其反函数为f^{-1}，且f'(f^{-1}(a)) \neq 0，则反函数在a处可微，并且

(f^{-1})'(a) = \frac{1}{f'(f^{-1}(a))}

证明 按照公式2.1.5写出导数的定义：

(f^{-1})'(a) = \lim_{{x \to a}} \frac{f^{-1}(x) - f^{-1}(a)}{x - a}

如果f(b) = a，那么f^{-1}(a) = b。如果我们令y = f^{-1}(x)，那么f(y) = x。因为f是可微的，所以它是连续的，因此根据定理6，f^{-1}也是连续的。于是当x \to a时，f^{-1}(x) \to f^{-1}(a)，即y \to b。因此，

(f^{-1})'(a) = \lim_{{x \to a}} \frac{f^{-1}(x) - f^{-1}(a)}{x - a} = \lim_{{y \to b}} \frac{y - b}{f(y) - f(b)}

= \lim_{{y \to b}} \frac{1}{\frac{f(y) - f(b)}{y - b}} = \frac{1}{\lim_{y \to b}\frac{f(y) - f(b)}{y - b}}

= \frac{1}{f'(b)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(a))}

注1 将a替换为任意数x，我们得到：

(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

如果我们写y = f^{-1}(x)，那么f(y) = x，因此公式8用莱布尼兹符号表示为：

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}

注2 如果预先知道f^{-1}是可微的，那么其导数可以通过隐式微分更容易地计算。如果y = f^{-1}(x)，则f(y) = x。对f(y) = x的方程对x进行隐式微分，记住y是x的函数，并使用链式法则，我们得到：

f'(y) \frac{dy}{dx} = 1

因此：

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{f'(y)} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}

例6 虽然函数y = x^2,x \in \mathbb{R}不是一对一的，因此没有反函数，但我们可以通过限制它的定义域使其成为一对一的函数。例如，函数f(x) = x^2,0 \leq x \leq 2, 是一对一的（通过水平线测试），其定义域为[0, 2]，值域为[0, 4]。（参见图12。）因此f有一个反函数f^{-1}，其定义域为[0, 4]，值域为[0, 2]。

无需计算(f^{-1})'(1)的公式，我们仍然可以计算(f^{-1})'(1)。由于f(1) = 1，我们有f^{-1}(1) = 1。并且f'(x) = 2x。因此根据定理7，我们有：

(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(f^{-1}(1))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{2}

在这种情况下，很容易显式地找到f^{-1}。事实上，f^{-1}(x) = \sqrt{x},0 \leq x \leq 4。[通常我们可以使用(5)给出的方法。] 然后(f^{-1})'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}，因此(f^{-1})'(1) = \frac{1}{2}，这与前面的计算结果一致。函数f和f^{-1}的图像在图13中绘制。

例7 如果f(x) = 2x + \cos x，求(f^{-1})'(1)。

解 注意到f是一对一的，因为

f'(x) = 2 - \sin x > 0

因此f是递增的。为了使用定理7，我们需要知道f^{-1}(1)，可以通过观察得到：

f(0) = 1 \quad \Rightarrow \quad f^{-1}(1) = 0

因此，

(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(f^{-1}(1))} = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{2 - \sin 0} = \frac{1}{2}