三角形四心公式详解：重心、内心、外心与垂心
三角形四心公式详解：重心、内心、外心与垂心
三角形的重心、内心、外心和垂心是平面几何中的重要概念，它们分别与三角形的中线、角平分线、中垂线和高线相关。本文将详细介绍这四个心的定义、性质及其坐标公式，并给出内心的证明过程。
设三角形为ABC, a=BC, b=CA, c=AB
重心
重心是三角形三条边的中线的交点。
重心坐标公式为：
G(x,y)= 1/3 * A(x,y) + 1/3 * B(x,y) + 1/3 * C(x,y)
内心
内心是三角形三个内角角平分线的交点。
内心坐标公式为：
I(x,y)= ( a * A(x,y) + b * B(x,y) + c * C(x,y) ) /(a+b+c)
内心定理证明
注：原图已缺失，以下证明过程仅供参考
由角平分线定理DC/DB = b/c，即,
由角平分线定理 IA/ID = b/CD
而 CD/a = b/(b+c)
所以IA/ID = (b+c)/a，即，
定义：
P = (a^2+b^2+c^2)/2;
u = P-a^2; v = P-b^2; w =P-c^2;
Q = uvw / (uv + vw + uw);
λ1 = Q/u; λ2 = Q/v; λ3 =Q/u;
外心
外心是三角形三条边的中垂线的交点。
外心坐标公式为：
O(x,y)= (1-λ1)/2 * A(x,y) + (1-λ2)/2 * B(x,y) + (1-λ3)/2 * C(x,y)
垂心
垂心是三角形三个顶点向对边所引垂线的交点。
垂心坐标公式为：
H(x,y)= λ1 * A(x,y) + λ2 * B(x,y) + λ3 * C(x,y)
参数含义
设
由余弦定理:2abcosC =a2+b2-c2,
所以w= P-c^2 = (a^2+b^2-c^2)/2=
本文详细介绍了三角形四心的定义、性质及坐标公式，对于学习平面几何和解决相关数学问题具有重要参考价值。