多变量微积分 - 偏导数、偏微分、全微分

多变量微积分 - 偏导数、偏微分、全微分

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_74923758/article/details/145068157

我们先来回顾一下微分的概念。在单变量微积分中，我们已经知道如何用直线来近似某一点附近的曲线。如下图所示，这条用来近似(x_0)点附近曲线的直线，就被称为该曲线在(x_0)点的微分。

当自变量从一个变为两个时，情况就变得复杂了一些。此时，我们要近似的对象不再是曲线，而是一个曲面。如果曲面在((x_0, y_0))点附近的图像可以用一个平面来近似，那么这个平面就称为曲面在((x_0, y_0))点的微分。为了与单变量微积分中的“微分”相区别，我们又将它称为“全微分”。

如何找到这个近似平面？

首先，我们需要理解曲面是由无数条曲线构成的。因此，要近似某点附近的曲面，实际上就是要近似经过该点的所有曲线。而每条曲线又可以用直线来近似。这样，我们要找的近似平面，就是由这些直线所构成的。两条相交的直线就能决定一个平面。

理解了上述概念之后，我们就可以着手寻找这个近似平面了。具体来说，我们需要计算曲面在((x_0, y_0))点处关于(x)和(y)的偏导数，然后利用这些偏导数来构造近似平面的方程。这个过程涉及到偏导数和偏微分的概念，我们将在后续的文章中详细介绍。