极限存在的条件
极限存在的条件
本文通过三个具体的函数例子，详细探讨了函数极限存在的条件。通过分析这些函数在特定点的左右极限，帮助读者理解极限存在与否的判断标准。
极限存在的条件
在左极限与又极限相关的内容中我们知道极限（也叫双侧极限）存在的充分必要条件是左右极限都存在且相等，否则极限不存在。所以这里要来详细的探讨一下在什么情况下函数会不存在极限。
1. 函数f ( x ) = 1 x f(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1
观察反比例函数f ( x ) = 1 / x f(x) = 1/xf(x)=1/x的图像，如图所示.lim x → 0 f ( x ) \lim_{x \rightarrow 0}f(x)limx→0 f(x)是什么呢？看图就知道双侧极限在这里不大可能存在。因此，我们先来试着求一下右极限，l i m x → 0 + f ( x ) lim_{x \rightarrow 0+}f(x)limx→0+ f(x)。
看一下图像，当x xx是正的且接近于0 00时，f ( x ) f(x)f(x)看起来好像非常大，特别是当x xx从右侧滑向0 00时，它看起来并不接近于任何数，它就是变得越来越大了。但会有多大呢？它会比你能想象到的任何数都大！我们说该极限是无穷大，并写作：
lim x → 0 + 1 x = ∞ \lim_{x \rightarrow 0+} \frac{1}{x}=\inftyx→0+lim x1 =∞
类似地，这里的左极限是− ∞ −\infty−∞，因为当x xx向0 00上升时，f ( x ) f(x)f(x)会变得越来越负，这就是说
lim x → 0 − 1 x = − ∞ \lim_{x \rightarrow 0-} \frac{1}{x}=-\inftyx→0−lim x1 =−∞
由于左极限为− ∞ -\infty−∞和右极限为+ ∞ +\infty+∞不相等，故左极限和右极限都存在，但是双侧极限显然不存在。
2. 函数g ( x ) = 1 x 2 g(x)=\frac{1}{x^2}g(x)=x21
观察反比例函数g ( x ) = 1 x 2 g(x)=\frac{1}{x^2}g(x)=x21 的图像，如图所示lim x → 0 f ( x ) \lim_{x \rightarrow 0}f(x)limx→0 f(x)是什么呢？
此函数在x = 0 x=0x=0处的左极限和右极限都是∞ \infty∞，因为左极限等于右极限，故左极限和右极限以及双侧极限都存在，因此这时也可以说极限（合称为极限）存在，即符号表示为lim x → 0 1 x 2 = ∞ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x2}=\ftylimx→0 x21 =∞。
3. 函数g ( x ) = s i n ( 1 x ) g(x)=sin(\frac{1}{x})g(x)=sin(x1 )
前面两个例子说明的是左右极限存在，但左极限不等于右极限时双侧极限不存在，那有没有可能会出现左极限或右极限不存在的情况，有的s i n ( 1 x ) sin(\frac{1}{x})sin(x1 )就是这样的。
现在分析一下图像，由于s i n ( x ) sin(x)sin(x)在x = π x=\pix=π，2 π 2\pi2π，3 π 3\pi3π，. . . ......上的值全为0 00，所以s i n ( 1 x ) sin(\frac{1}{x})sin(x1 )会在x = 1 π x=\frac{1}{\pi}x=π1 ，1 2 π \frac{1}{2\pi}2π1 ，1 3 π \frac{1}{3\pi}3π1 ，. . . ......上的值全为0 00。而1 π \frac{1}{\pi}π1 ，1 2 π \frac{1}{2\pi}2π1 ，1 3 π \frac{1}{3\pi}3π1 ，. . . ......这些数就是s i n ( 1 / x ) sin (1/x)sin(1/x)函数在x xx轴的值。
lim x → 0 + s i n ( 1 x ) \lim_{x\rightarrow0+}sin(\frac{1}{x})limx→0+ sin(x1 )是什么呢？以上图像在x = 0 x=0x=0附近很杂乱，它无限地在1 11
和− 1 −1−1之间振荡，震荡的原因是随着x xx值得变化s i n ( 1 x ) sin(\frac{1}{x})sin(x1 )不断产生最小− 1 -1−1到最大1 11之间含有小数的值（不是说只产生 -1 或 1，而是两者之间的实数值），当你从右侧向x = 0 x=0x=0处移动时，振荡会越来越快，这里没有极限。
当x xx从右侧趋于x = 0 x=0x=0时，s i n ( 1 x ) sin(\frac{1}{x})sin(x1 )函数不趋于任何数，因此可以说lim x → 0 + s i n ( 1 x ) \lim_{x\rightarrow0+}sin(\frac{1}{x})limx→0+ sin(x1 )不存在（即D N E DNEDNE）。