复数的三角形式与指数形式
复数的三角形式与指数形式
复数是数学中的一个重要概念，它不仅在纯数学领域有着广泛的应用，还在物理学、工程学等多个领域发挥着重要作用。本文将详细介绍复数的三角形式与指数形式，帮助读者更好地理解复数的相关知识。
在中学，我们已经学习过复数及其用代数形式a+bi表达的四则运算法则及算律。在《大学数学》中我们学习过建立在实数集合上的微积分——称为实分析；同样，在复数集合上也可以讨论函数、导数、微分、积分等问题，这就是大学数学本科（或研究生）专业里一门必修课《复变函数》，因此我们有必要对复数了解得更多些。
1. 复数的三角形式
1.1 复数的幅角与模
我们知道复数a+bi对应着复平面上的点(a,b)，也对应复平面上一个向量（如下图所示）：
这个向量的长度叫做复数a+bi的模，记为|a+bi|，一般情况下，复数的模用字母r表示。同时，这个向量针对x轴的正方向有一个方向角，我们称为幅角，记为arg(a+bi)，幅角一般情形下用希腊字母θ表示。在实轴X与虚轴Y正交的前提下：
式（1）
把它们代入复数的代数形式得：
式（2）
我们把式（2）叫做复数
的三角形式。
1.2 复数三角形式的运算法则
引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。
1.2.1 复数的乘法
设：
则：
这说明，两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加，这个运算在几何上可以用下面的方法进行：将向量
的模扩大为原来的
倍，然后再将它绕原点逆时针旋转角
，就得到
。
1.2.2 复数的除法
设：
则：
这说明，两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减，这个运算在几何上可以用下面的方法进行：将向量
的模缩小为原来的
分之一，然后再将它绕原点顺时针旋转角
，就得到
。
1.2.3 复数的乘方
利用复数的乘法不难得到：
这说明，复数的n次方等于它模的
次方，幅角的
倍。这个运算在几何上可以用下面的方法进行：将向量z1的模变为原来的
次方，然后再将它绕原点逆时针旋转角
，就得到
。
1.2.4 复数的开方
对于复数
，根据代数基本定理及其推论知，任何一个复数在复数范围内都有n个不同的n次方根。
设：
的一个n次方根为
那么:：
所以：
即：
显然，当k从0依次取到n－1,所得到的角的终边互不相同，但k从n开始取值后，前面的终边又周期性出现。因此，复数z的n个n次方根为:
从求根公式可以看出，相邻两个根之间幅角相差
,所以复数
的
个
次方根均匀地分布在以原点为圆心，以它的模的
次算术根为半径的圆周上。
因此，求一个复数z的全部n次方根，可以用下面的几何手段进行：
先作出圆心在原点，半径为
的圆，然后作出角
的终边，以这条终边与圆的交点为分点，将圆周
等分，那么每个等分点对应的复数就是复数
的
次方根。
2. 复数的指数形式
在对复数三角形式的乘法规则讨论中，我们发现，复数的三角形式将复数的乘法“部分地”转变成加法（模相乘，幅角相加），这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现，对数函数与指数函数：
前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加；后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和。从形式上看，复数的乘法与指数函数的关系更为密切些：
根据这个特点，复数
应该可以表示成某种指数形式,即复数应该可以表示成
的形式，这里有三个问题需要解决：
（1）反映复数本质特征的三个因素：模r、幅角θ、虚数单位i应各自摆放在什么位置？
（2）在这些位置上它们应呈现什么形态？
（3）作为指数形式的底应该用什么常数？
再重新观察下面的等式：
首先，显然模
应该占据
中系数
的位置，其次，幅角
应该占据
中指数
的位置，对于虚数单位
，如果放到系数
的位置上会怎样?
等式右边是实数，对于任意虚数而言，这是不可能的。因此幅角θ也应该占据指数的位置。这样第二个问题就产生了：它与幅角一起在指数的位置上是什么关系？（相加？相乘？）
幅角
与虚数单位
是相加的关系会怎样？先考察模为1的复数
，如果写成
的形式，一方面由于
，与
的形式差别不是很大，其次
，在复数的乘方法则中，应该仅是幅角的
倍而没有虚数单位也要
倍，所以虚数单位与幅角不应该是相加关系，而应该是相乘关系。
现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合：
乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的
次方、幅角的
倍”的本质特征，下面来解决最后一个问题：应该选用哪个常数作为底数？我们暂时将
形式化地看做
与
的“二元函数”，数学是“形式化的科学”，因此，一些形式化的性质应该“形式化”地保持不变。
下面我们将
等式两边对
形式化地求“偏微分”：
所以
，得
这样我们利用不太严格的推理得到了复数的第三种表现形式——指数式
从复数的模与幅角的角度看，复数的指数形式其实是三角形式的简略化，对于指数形式的严格证明可以参读《复数的指数形式的证明》
由复数的三角形式与指数形式，我们很容易得到下面的两个公式：
这两个公式被统称为欧拉公式；在复数的指数形式中，令
，
，就得到下面的等式：
或者
它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的五个数字就这么神秘地联系到了一起：两个超越数——自然对数的底
，圆周率
；三个单位——虚数单位
、自然数的乘法单位
和加法单位0。关于自然对数的底
和圆周率
，这里我想多说那么几句：它们是迄今为止人类所发现的两个彼此独立的超越数，尽管从理论上我们知道，超越数比有理数、代数数（可以表示为有理系数一元多项式的根的数）要多得多，但为人类所认识的超越数却仅此两个！令人不可思议的是，它们居然凭借这么一个简单关系彼此联系着。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看着它但却不能理解它。
3. 复数的应用
利用复数的三角形式，我们可以比较容易地解决一些数学其他领域里的问题。由于我们这门课的特点，我们仅限于在初等数学领域里举两个例子。
3.1 三角级数求和
求解
解：令
，那么对任何自然数
有：
另一方面由等比数列的定义可知：
所以：
3.2 设M是单位圆周 x2+ y2= 1上的动点，点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等边三角形的顶点，并且M→N→A→M成逆时针方向，当M点移动时，求点N的轨迹。
分析：此题若用一般解析几何的方法寻找点M与N之间的显性关系是比较困难的。下面用复数的乘法的几何意义来寻找这种关系。
设M、N、A对应的复数依次为：
，
，
那么向量AM可以用向量AN绕A点逆时针旋转300度得到，用复数运算来实现这个变换就是：
3.3 3. 设z1、z2、z3是复平面上三个点A、B、C对应的复数，证明三角形ABC是等边三角形的充分必要条件是:
假设结论不成立：
三个向量
，
，
均为零向量，则三个向量
，
，
所对应的点是同一个点,与题意不符.