正态分布的线性组合与独立性：全面讲解

正态分布的线性组合与独立性：全面讲解

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weidl001/article/details/144325531

正态分布是概率论与数理统计中的重要分布之一，其线性组合与独立性的性质在许多理论和应用中都非常关键。本文将从正态分布的定义出发，详细讲解其线性组合的性质、独立性的影响以及概率计算方法，帮助读者全面理解这一重要知识点。

正态分布的定义

若随机变量 (X) 服从正态分布，记为 (X \sim N(\mu, \sigma^2))，其概率密度函数为：

[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)]

其中：

• (\mu)：均值，决定分布的中心位置。
• (\sigma^2)：方差，决定分布的宽度（波动性）。

正态分布的线性组合

定理：正态分布线性组合仍服从正态分布

若 (X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2))，(X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2))，且 (X_1) 和 (X_2) 相互独立，则它们的线性组合：

[Y = aX_1 + bX_2 + c]

也服从正态分布，记为：

[Y \sim N(a\mu_1 + b\mu_2 + c, a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)]

证明：

1. 均值的线性性：

随机变量的均值具有线性性：

[E(aX_1 + bX_2 + c) = aE(X_1) + bE(X_2) + c]

所以，均值为：(a\mu_1 + b\mu_2 + c)。

2. 方差的独立性加和：

对于相互独立的随机变量，其线性组合的方差为各分量方差的加权和：

[\text{Var}(aX_1 + bX_2 + c) = a^2\text{Var}(X_1) + b^2\text{Var}(X_2)]

即：(a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)。

3. 正态分布的闭包性：

由于正态分布是“闭合的”，即正态分布的任意线性组合仍是正态分布，因此：

[Y \sim N(a\mu_1 + b\mu_2 + c, a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)]

特殊情况：

1. 如果 (Y = X_1 + X_2)：

• 均值：(E(Y) = \mu_1 + \mu_2)
• 方差：(\text{Var}(Y) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2)
• (Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2))

2. 如果 (Y = X_1 - X_2)：

• 均值：(E(Y) = \mu_1 - \mu_2)
• 方差：(\text{Var}(Y) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2)
• (Y \sim N(\mu_1 - \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2))

独立性对线性组合的影响

定理：独立性保证方差的简单加和

若 (X_1) 和 (X_2) 相互独立，则它们的协方差为零，即：

[\text{Cov}(X_1, X_2) = E(X_1X_2) - E(X_1)E(X_2) = 0]

因此，线性组合的方差只与各分量的方差有关，不涉及交叉项。

非独立情形：

如果 (X_1) 和 (X_2) 不是独立随机变量，则需要考虑协方差：

[\text{Var}(aX_1 + bX_2) = a^2\text{Var}(X_1) + b^2\text{Var}(X_2) + 2ab\text{Cov}(X_1, X_2)]

例子：

1. 独立情况：

• (X_1 \sim N(0, 1))，(X_2 \sim N(1, 4))，独立。
• (Y = 2X_1 + 3X_2)：
• 均值：(E(Y) = 2E(X_1) + 3E(X_2) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 3)
• 方差：(\text{Var}(Y) = 2^2\text{Var}(X_1) + 3^2\text{Var}(X_2) = 4 + 27 = 31)
• (Y \sim N(3, 31))

2. 非独立情况：

• (X_1 \sim N(0, 1))，(X_2 \sim N(1, 4))，且 (\text{Cov}(X_1, X_2) = 2)。
• (Y = 2X_1 + 3X_2)：
• 均值：(E(Y) = 3)（不变）
• 方差：(\text{Var}(Y) = 4 + 27 + 2 \cdot 2 \cdot 3 = 39)
• (Y \sim N(3, 39))

正态分布的概率计算

标准正态分布：

• 若 (Z \sim N(0, 1))，则标准正态分布的概率表可用于快速计算。
• 性质：
  1. (P(Z \leq 0) = 0.5)
  2. (P(Z \leq z) = 1 - P(Z > z))

非标准正态分布：

• 若 (X \sim N(\mu, \sigma^2))，可以通过标准化转换为标准正态分布：

[Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)]

应用：

对于 (P(X \leq c))，标准化为 (P\left(Z \leq \frac{c - \mu}{\sigma}\right))，利用正态分布表或计算工具求解。

总结

1. 正态分布的线性组合是正态分布，独立性使得方差可以简单加和。
2. 标准化是处理正态分布概率问题的重要工具。
3. 非独立情况下需要考虑协方差对方差的贡献。
4. 重点公式：

• 线性组合：(Y = aX_1 + bX_2 + c \sim N(a\mu_1 + b\mu_2 + c, a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2))
• 标准化：(Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1))