中考数学四边形解题技巧与策略
中考数学四边形解题技巧与策略
四边形是中考数学中的重要考点，涉及的知识点繁多且解题方法多样。本文将系统地梳理四边形的基本概念、性质、判定方法以及解题技巧，帮助同学们全面掌握这一知识点。
四边形的基本概念与分类
在几何中，四边形的一般定义为：四条首尾相接的线段组成的图形叫做四边形。按照四条边是否共面，可以把四边形分为两类：四条边在同一平面内的四边形叫做平面四边形；四条边不在同一平面内的四边形叫做空间四边形。初中数学中主要讨论平面四边形。
平面四边形又可以进一步分为两类：画出平面四边形的任意一条边所在直线时，如果整个四边形都在直线的同侧，则它是凸四边形；否则它是凹四边形。初中数学中讨论的四边形主要是凸四边形。
对于一般的四边形，四条边只要能够首尾相接即可，并无其他关于边的位置或长短的要求。梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形则不仅都是四边形，并且各自满足一定的附加条件。像这样满足一定附加条件的四边形称为特殊的四边形。进一步可以看出，矩形、菱形和正方形又是满足一定附加条件的平行四边形，即它们是特殊的平行四边形。
平行四边形
定义
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
性质
- 平行四边形的对边相等
- 平行四边形的对角相等
- 平行四边形的对角线互相平分
判定
- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
- 对角线互相平分的四边形是平行四边形
- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
解题技巧
- 运用平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分
- 对角线将四边形分成面积相等的四部分
- 平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题，突出转化思想的渗透
特殊平行四边形
矩形
定义
有一个角是直角的平行四边形。
性质
- 矩形的四个角都是直角
- 矩形的对角线平分且相等
判定
- 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
- 对角线相等的平行四边形是矩形
- 有三个角是直角的四边形是矩形
菱形
定义
邻边相等的平行四边形。
性质
- 菱形的四条边都相等
- 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
判定
- 一组邻边相等的平行四边形是菱形
- 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
- 四条边相等的四边形是菱形
面积计算
S菱形=1/2×ab(a、b为两条对角线)
正方形
定义
一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
性质
- 四条边都相等，四个角都是直角
- 正方形既是矩形，又是菱形
判定
- 邻边相等的矩形是正方形
- 有一个角是直角的菱形是正方形
梯形
定义
一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
特殊梯形
直角梯形
有一个角是直角的梯形。
等腰梯形
两腰相等的梯形。
性质
- 等腰梯形同一底边上的两个角相等
- 等腰梯形的两条对角线相等
判定
同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
四边形解题技巧
不规则图形面积计算
对于不规则图形面积的计算问题，一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决。常用的基本方法有：
- 直接求面积
这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出组合图形面积。
例1： 求下图阴影部分的面积（单位：厘米）。
解答： 通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为：(平方厘米)
- 相加、相减求面积
这种方法是将组合图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加或相减求出该图形的面积。
例2： 正方形甲的边长是5厘米，正方形乙的边长是4厘米，阴影部分的面积是多少？
解答：
两个正方形的面积：5×5+4×4=41(平方厘米)
三个空白三角形的面积和：(5+4)×5÷2+4×4÷2+5×(5-4)÷2=33(平方厘米)
阴影部分的面积：41-33=8(平方厘米)
- 等量代换求面积
一个图形可以用与它相等的另一个图形替换，如果甲乙大小相等，那么求出乙的大小，就知道甲的大小；两个图形同时增加或减少相同的面积，它们的差不变。
例3： 平行四边形ABCD的边BC长8厘米，直角三角形ECB的直角边EC长为6厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，平行四边形ABCD的面积是多少？
解答：
阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，分别加上梯形FBCG,得出的平行四边形ABCD比三角形EBC的面积大8平方厘米。
平行四边形ABCD的面积:8×6÷2+8=32(平方厘米)
- 借助辅助线求面积
这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法求面积。
例4： 下图中，CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米,CD的长是多少?
解答: 结合已知条件看图，很难有思路，连接DA,就可以发现：三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米,分别加上三角形DAE得到的三角形ABD比三角形CDA的面积大2平方厘米。
(4×4÷2-2)×2÷4=3(厘米)
