泰勒公式到底是什么？
泰勒公式到底是什么？
泰勒公式是数学分析中的一个重要工具，它通过用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，从而在某点的邻域内近似计算函数值。泰勒公式在数学、物理学、工程学以及机器学习等领域都有广泛的应用。本文将从多项式逼近的基本思想出发，逐步推导出泰勒公式的具体形式，并通过具体的数学例子和图形直观地展示其逼近效果。
泰勒公式，也称泰勒展开式，是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数，求得在这一点的邻域中的值。
所以泰勒公式是做什么用的？简单来讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数（即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像），注意，逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。如果一个非常复杂函数，想求其某点的值，直接求无法实现，这时候可以使用泰勒公式去近似的求该值，这是泰勒公式的应用之一。泰勒公式在机器学习中主要应用于梯度迭代。
1. 问题的提出
多项式：
是最简单的一类初等函数。关于多项式，由于它本身的运算仅是有限项加减法和乘法，所以在数值计算方面，多项式是人们乐于使用的工具。因此我们经常用多项式来近似表达函数。这也是为什么泰勒公式选择多项式函数去近似表达给定的函数。
2. 近似计算举例
初等数学已经了解到一些函数如：
,
,
的一些重要性质，但是初等数学不曾回答怎样来计算它们，以
的近似计算为例：
①. 一次逼近
利用微分近似计算公式
(该式由导数/微分的极限表达公式转换得到)
对
附近的 f(x) 的线性逼近为：
所以
所以
在
附近的线性逼近函数
如下图：
线性逼近优点：形式简单，计算方便；缺点：离原点O越远，近似度越差。
②. 二次逼近
二次多项式
逼近
我们期望：
( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的函数值相等 )；
( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的斜率相等 )；
( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的曲率相等 )；
所以
所以
如下图：
二次逼近要比线性逼近好得多，但局限于
内，该范围外，图像明显差异很大。为什么我们期望两个函数在某一点的函数值 、一阶导数值、二阶导数值相等？因为这些值表达了函数(图像)最基本和最主要的性质，这些性质逼近即可以使得两个函数逼近(由上面函数图像可以直观地看出来)
③. 八次逼近
八次多项式
逼近
我们期望：
，求出
( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的函数值相等 )；
，求出
( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的斜率相等 )；
....
，求出
( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的曲率相等 )；
所以
如下图：
由上述3次不同程度的函数逼近可以看出：对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式 。
以上就是利用多项式函数去逼近给定函数的一个过程。
3. 泰勒公式的推导
由此引出一个问题：给定一个函数
，要找一个在指定点
附近与
很近似的多项式函数
，记为：
使得
并且使得两者误差
可估计。所以要找的多项式应该满足什么条件，误差是什么？
使上面的程式在
附近很靠近，很明显：
- 首先要求两曲线在
点相交，即
- 如果要靠得更近，还要求两曲线在
点相切，两曲线在
附近的靠近情况明显差异很大，相切更接近)，即
- 如果还要靠得更近，还要求曲线在
点弯曲方向相同，明显在离
很远的地方，弯曲方向相同两函数的差异更小一点，即
，进而可推想：若在
附近有
，
，... ,
近似程度越来越好。
综上所述，所要找的多项式应满足下列条件：
由此，多项式函数
中的系数 a 可以全部由
表示，则得到：
其中误差为
。 因为是用多项式函数去无限逼近给定的函数，所以两者之间肯定存在一丢丢的误差。
4. 泰勒公式的定义
所以我们就得到了泰勒公式的定义：
如果函数
在含
的某个开区间
内具有直到 n+1 阶导数，则对
，有
其中余项 (即误差)
，
在
与 x 之间。 泰勒公式的余项表达方式有好几种，前面这种表是方法称为n阶泰勒展开式的拉格朗日余项。拉格朗日余项即是n阶泰勒公式又多展开了一阶，n变为n+1。注意，这里的余项即为误差，因为使用多项式函数在某点展开，逼近给定函数，最后肯定会有一丢丢的误差，我们称之为余项。
5. 扩展 —— 麦克劳林公式
是泰勒公式的一种特殊情况：即当
时的泰勒公式。所以将
带入公式，即得：
几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：
佩亚诺余项为
的高阶无穷小 ：