高中函数专题：表示法与单调性详解，附例题解析

高中函数专题：表示法与单调性详解，附例题解析

函数是高中数学中的重要概念，掌握函数的表示法和单调性对于解决相关问题至关重要。本文将系统地介绍函数表示法与函数单调性的相关知识，包括函数图像的画法、函数解析式的求法、映射的概念，以及函数单调性的判断方法和证明技巧。通过详细的例题解析，帮助读者深入理解这些核心概念。

一、函数表示法

这块，主要掌握两个技能，函数图像的画法，函数解析式的求法。

1、函数图像的画法

首先，要熟练掌握：反比例函数、一次函数、二次函数、$x \sqrt{x}$ 这四个函数的 图像。

在掌握两种特殊函数图像的画法：对勾函数，双刀函数

参考：对勾函数，双刀函数的函数图像

1.1、例题

这道题，其实是只用到了初中知识点。直接画出图像。

在利用根与图像交点的关系。求解即可。

2、求函数解析式

常用求法：

1、代入法。

2、换元法。

3、待定系数法。

4、方程组法。

5、特殊值法。

详情：重难点手册42/43页

2.1、例题

解析：

1、用代入法。

2、换元法。

3、待定系数法。

4、待定系数法。

观察上面两道题，可以发现：

$x × \frac{1}{x} = 1$，$(x-1)+(1-x)=0$，从而可以构建方程组解答。

给了f0的值，所以，想办法，利用这个条件消除f(x-y)，从而，方程只包含fx。

3、映射

注意：映射与函数的区别

映射的像集中元素，可以没有原像。但是，值域中的函数值y，必须在定义域中有x与之对应。

二、函数单调性

1、单调区间的表示方法

2、常用的因式分解公式

一般判断单调性，都需要用到因式分解，这样，才可以判断符号。

1、平方差公式。

2、完全平方公式。

3、十字相乘法。

4、立方差公式。

5、立方和公式。

6、二次函数的配方法。

2.1、例题

解析：直接定义法证明，但是，

用到立方差公式和配方法

，从而确定符号。

3、单调性的证明方法

1、定义法。

设，区间中，任意

$x_1 > x_2$

，求

$f(x_1)$和$f(x_2)$

的大小关系。

它的等价变形：

2、性质法

当单调区间相同时：

注意：只需要记忆

$f+g$

即可。因为，

$g$和$-g$

具有相反的单调性，所以，

$f-g=f+(-g)$

。

3、函数乘积的单调性

4、复合函数的单调性

同增异减

4、特例

有些函数不具有单调性

5、例题

例题1

解析：

首先，像这种多个 小问的题目，一般都具有相互关联性。

就是说，后面的题目，后用到上一题的结论。

1、直接特殊值法，n=m=1.

2、利用$f_1=0$，$n ∗ \frac{1}{n} = 1$

3、利用2的结论，结合定义法即可。

4、先给常数2套上f，发现$f_4=2$，在利用2的结论，把$f(x+2)-f(2x)$变成$f(\frac{x+2}{2x})$，得解。

5、较难，用到不等式性质。

先是想给2套上f，发现不行。

然后，只能是给

两式同分母

，就是，想办法给$f(\frac{m+n}{2})×(\frac{1}{2})$，再利用已知性质求解。

例题2

解析：

此题，我是用函数图像性质求解的。

会发现，$|x+1|$的图像与$|2x+a|$的图像，最小值的交点在两个函数0点的中间，且函数值是两者的2倍。

例题3

较难

解析：函数图像法，a和1的位置关系，求出g(a)表达式，在根据单调性，求出最值。

例题4

解析：

要理解f(x)的含义，$x < g(x)$等价于$g(x) - x > 0$，从而求出定义域，在根据解析式，求出分段函数的最值。