直角三角形四种解法详解：已知条件到求解全攻略
直角三角形四种解法详解：已知条件到求解全攻略
直角三角形的解法是中学数学的重要内容，本文详细介绍了四种解法：已知斜边和一个锐角、已知一条直角边和一个锐角、已知斜边和一条直角边、已知两条直角边。每个解法都配有例题和习题，并附有详细的解题步骤和答案。
直角三角形的解法
一个三角形的三条边和三个角叫做它的六个元素。所谓 解三角形 ，就是根据已知的元素，求出它的未知元素。
现在我们只研究直角三角形的解法。我们仍用 C 表示直角三角形 ABC 的直角，而把三个角 A，B，C 的对边分别用 a，b，c 表示。
对于直角三角形来说，除了一个直角以外，如果还知道两个元素（其中至少有一个元素是边），那末，总可以利用三角函数求出其他的元素。已知的两个元素可以是：
(1) 斜边和一个锐角：就是已知 c 和 A，或者 c 和 B 。
(2) 一条直角边和一个锐角：这里已知的直角边可以是已知锐角的对边，例如已知 a 和 A 或者 b 和 B；也可以是邻边，例如已知 b 和 A 或者 a 和 B 。
(3) 斜边和一条直角边：就是已知 c 和 a 或者 c 和 b 。
(4) 两条直角边：就是已知 a 和 b 。
下面分别举例说明这四种情形的解法。在所有的例题和习题里，求角都要求精确到 1' 。
已知斜边和一个锐角
例1. 已知 c＝287.4，B＝42°6'；求 A，a 和 b 。（图1·13）
【解】
(1) A＝90°－B＝90°－42°6'＝47°54' 。
(2) a/c＝cos B；
∴ a＝c cos B＝287.4 cos 42°6'＝287.4×0.7420＝213.2 。
(3) b/c＝sin B；
∴ b＝c sin B＝287.4 sin 42°6'＝287.4×0.6704＝192.7 。
【注意】根据四位的三角函数值计算边长，如果没有指明要精确到哪一位，那末求得的结果就保留四个数字。
例2. 一仓库屋顶的倾斜度是 30°，椽长 AB 等于 7.3 米（图1·14）；求这仓库的宽 AA'（精确到0.1米）。
【解】
因为 AC/AB＝cos A，
所以 AC＝AB cos A＝7.3 cos 30°＝7.3×0.8660＝6.32，
AA'＝2AC＝2×6.32＝12.6 。
答：仓库的宽约为 12.6 米 。
习题1-8(1)
1、解下列各直角三角形：
(1) 已知 c＝35.00，A＝35°35'；【B＝54°25'，a＝20.37，b＝28.46】
(2) 已知 c＝315.7，B＝61°6' 。【A＝28°54'，a＝152.6，b＝276.4】
2、等腰三角形的腰长为 30.02cm，底角等于 70°，求底边上的高和底边的长。【28.21cm，20.53cm】
3、菱形的边长为 4.2m，一个锐角为 70°，求它的两条对角线的长。【4.816m，6.881m】
4、一块圆形铁板，半径为 12.67m，要截成一块尽可能大的正九边形，它的一边的长应当是多少？【8.668m】
5、梯长 6.5m，下端着地，上端靠墙，设梯与地面成 72° 的角，问下端距墙脚有多远（精确到0.1m）？【2.0m】
已知一条直角边和一个锐角
例3. 已知 a＝15.2，A＝13°58'；求 B，b 和 c 。（图1·15）
【解】
(1) B＝90°－A＝90°－13°58'＝76°2' 。
(2) b/a＝ctg A，
∴ b＝a ctg A＝15.2 ctg 13°58'＝15.2×4.021＝61.12 。
(3) a/c＝sin A；
∴ 。
例4. 已知 b＝79.79，A＝66°36'；求 B，a 和 c 。（图1·16）
【解】
(1) B＝90°－A＝90°－66°36'＝23°24' 。
(2) a/b＝tg A；
∴ a＝b tg A＝79.79 tg 66°36'＝79.79×2.311＝184.4 。
(3) b/c＝cos A；
∴ 。
在测量学里，常用到仰角和俯角这两个名词。如图1·17，画出连结观测点（O）和目的物（A 或 B）的视线，并且经过观测点，画和视线在同一铅直面内的水平线（OL）。当视线在水平线的上方时，它们间的角叫做目的物的 仰角 （∠α）。当视线在水平线的下方时，它们间的角就叫做目的物的 俯角 （∠β）。
例5. 图1·18中，为了决定树 AE 的高度，在和 E 相距 47.0 米的 D 处，用测角仪器测得仰角 ∠ABC＝20° 。设测角仪器 BD 的高度是 1.3 米，求树的高度（精确到 0.1 米）。
【解】
在直角三角形 ABC 中，AC/BC＝tg B 。
∴ AC＝BC tg B＝DE tg B＝47.0 tg 20°＝47.0 × 0.3640＝17.1 。
∴ AE＝AC＋CE＝AC＋BD＝17.1＋1.3＝18.4 。
答：树高约为 18.4 米。
【注】在解题时，测角仪器的高必须算进去。但习题中有时为了简便起见，并不指明测角仪器的高。在这种情形下，我们可以把观测点当做就在安置仪器的地面上。
例6. 由高出海面 150 米的山岩上的一点 A（图1·19），观测海中一艘船 B 的俯角是 α＝9° 。求山脚 C 到船只的距离（精确到 1 米）。
【解】
∠BAC＝90°－9°＝81° 。
∴ BC＝150 tg 81° 。
查表得 tg 81°＝6.3138 。
∴ BC＝150×6.3138＝947 。
答：山脚到船只的距离约为 947 米。
习题1-8(2)
1、解下列各直角三角形：
(1) 已知 b＝45.62，A＝39°15'；【B＝50°45'，a＝37.28，c＝58.92】
(2) 已知 b＝100，B＝67°20' 。【A＝22°40'，a＝41.76，c＝108.4】
2、等腰三角形 ABC 的底角 A＝72°20'，腰 AC 上的高为14.7cm，解这个三角形（精确到 0.01cm）。【C＝35°20'，B＝72°20'，AC＝BC＝25.41cm，AB＝15.44cm】
3、直角三角形 ABC 的锐角 B＝40°22'，斜边 AB 上的高是 8.24cm，解这个直角三角形。【A＝49°38'，BC＝12.72cm，AC＝10.81cm，AB＝16.69cm】
4、菱形的一锐角等于 77°，短对角线的长为 12.40cm，求这菱形的边长。【9.96cm】
5、平面上有两个点 P 和 Q 彼此不能直达，但是能够望见。为了测量这两点间的距离，沿 PQ 的垂线 QR 取一点 R，测得 QR＝76.8m，∠PRQ＝62°10' 。求 PQ 。【145.5m】
6*、两个建筑物 AB 和 CD 的水平距离是 72.6m，从其中一个建筑物的顶点 A 测得另一个建筑物的顶 C 的俯角是 35°，底 D 的俯角是 40° 。求这两个建筑物的高（精确到 0.01m）。【60.92m，10.09m】
已知斜边和一条直角边
例7. 已知 b＝35.47，c＝45.93；求 A，B 和 a 。（图1·20）
【解】
(1) cos A＝b/c＝35.47 / 45.93＝0.7723；
∴ A＝39°26' 。
(2) B＝90°－A＝90°－39°26'＝50°34' 。
(3)
∵ a²＋b²＝c²；
∴ %20(c-b)}) 。
c＋b＝81.40，c－b＝10.46，(c＋b)(c－b)＝851.4 。
∴ a＝√851.4＝29.18 。
如果求出 c 的平方，b 的平方，再求它们的差，然后开方，那末计算就要麻烦得多。
例8. 长 21 尺的木板，一端在地面上，另一端离开地面的高是 10.3 尺，求木板和地面所夹的角（精确到1°）。
【解】
设 AB 是长 21 尺的木板（图1·21），CB 是木板一端离开地面的高度 10.3 尺，那末
。
查表得到 ∠A 的最接近的整数度数是 29° 。
答：木板和地面所夹的角约为 29° 。
习题1-8(3)
1、解下列各直角三角形：
(1) 已知 a＝50，c＝70.71；【A＝B＝45°，b＝50】
(2) 已知 b＝7，c＝25 。【A＝73°44'，B＝16°16'，a＝24】
2、等腰三角形的周长为 26cm，底上的高为 8cm，求它的腰和底（精确到 0.001cm）以及顶角。【8.961cm，8.078cm，53°34'】
3、一个正多边形的边长为 5(√5－1)cm，外接圆的半径为 10cm，求这个正多边形的边数。又它的内切圆半径等于多少？【正十边形，9.511cm】
4*、直角三角形 ABC 的斜边 AB＝21.72cm，AC＝16.80cm，求 AB 上的高和角 A 的平分线的长。【10.66cm，17.84cm】
已知两条直角边
例9. 已知 a＝104.0，b＝20.49；求 A，B 和 c 。（图1.22）
【解】
(1) 。
∴ A＝78°51' 。
(2) B＝90°－A＝90°－78°51'＝11°9' 。
(3) sin A＝a/c；
∴ 。
这里，我们当然也可以根据 c＝√(a²＋b²) 来求 c 。但这只有在 a 和 b 的数值比较简单时才适用。当数值很繁时，还是用例题里的解法比较简便。
习题1-8(4)
1、解下列各直角三角形：
(1) 已知 a＝√5，b＝√15；【A＝30°，B＝60°，c＝2√5】
(2) 已知 a＝22.5，b＝12 。【A＝61°55'，B＝28°5'，c＝25.51】
2、矩形ABCD中，AB＝25，BC＝312，求它的外接圆的半径和两条对角线相交所成的锐角。【156.5，9°10'】
3、等腰梯形的上底为 8cm，下底为 14cm，高为 7.5cm，求它的腰长和底角。【8.078，68°12'】
4、锐角三角形 ABC 中，BC 上的高为 AD，已知 AD＝12.30cm，BD＝8.48cm，CD＝9.27cm 。求这个三角形其余两边的长和三个角的大小。【AB＝14.94cm，AC＝15.40cm，A＝71°35'，B＝55°25'，C＝53°】
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