高考数学冲刺：掌握权方和不等式秘籍

高考数学冲刺：掌握权方和不等式秘籍

备战2025年高考数学，掌握权方和不等式是关键。通过学习权方和不等式及其应用，你可以更加高效地解决多元最值问题。无论是柯西不等式的拓展还是具体的模拟题练习，都能让你在考试中游刃有余。快来获取这份独家备考资料，助力你在高考数学中取得优异成绩吧！

权方和不等式是数学中的一个重要不等式，广泛应用于求解最值问题和证明其他不等式，在高中数学竞赛及高考中尤为常见。

权方和不等式的二维形式表述为：对任意正数 (a, b, x, y)，有
[
\frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y} \geq \frac{(a+b)^2}{x+y}
]
当且仅当 (\frac{a}{x} = \frac{b}{y}) 时取等号。

其多维推广形式为：对任意正数 (a_i, b_i (i=1,2,\ldots,n))，有
[
\sum_{i=1}^{n} \frac{a_i^{m+1}}{b_i^m} \geq \frac{\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^{m+1}}{\left( \sum_{i=1}^{n} b_i \right)^m}
]
其中 (m > -1)，当且仅当所有 (\frac{a_i}{b_i}) 相等时取等号。

配凑法

通过调整分子分母使其满足权方和的形式，例如将系数或变量适当分配。

换元法

引入新变量简化表达式，便于应用不等式。

常数化策略

利用已知条件构造定值，再结合权方和求解。

例题1：（2023·浙江模拟）

已知，且，则的最小值为（
）A．1 B． C．9 D．

解析：因为，所以由权方和不等式可得当且仅当，即时，等号成立。

答案：C

例题2：（2023·四川·校联考一模）

已知正数x，y满足，则的最小值是.

解析：由条件可知，
[
\frac{1}{x-1} + \frac{2}{y} = \frac{1^2}{x-1} + \frac{2^2}{y} \geq \frac{(1+2)^2}{(x-1)+y} = \frac{9}{2-(x-1)} = \frac{9}{3-x}
]
由于 (x + y = 2)，代入得最小值为 9，此时 (x = \frac{4}{3}, y = \frac{2}{3})。

答案：9

例题3：（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）

设且，则的最小值是．

解析：由条件可知，
[
\frac{1}{a-1} + \frac{2}{b} = \frac{1^2}{a-1} + \frac{2^2}{b} \geq \frac{(1+2)^2}{(a-1)+b} = \frac{9}{2-(a-1)} = \frac{9}{3-a}
]
由于 (a + b = 2)，代入得最小值为 9，此时 (a = \frac{4}{3}, b = \frac{2}{3})。

答案：9

例题4：（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）

已知正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是．

解析：由条件可知，
[
\frac{1}{x-1} + \frac{2}{y} = \frac{1^2}{x-1} + \frac{2^2}{y} \geq \frac{(1+2)^2}{(x-1)+y} = \frac{9}{2-(x-1)} = \frac{9}{3-x}
]
由于 (x + y = 2)，代入得最小值为 9，此时 (x = \frac{4}{3}, y = \frac{2}{3})。

答案：9

权方和不等式是解决多元最值问题的强大工具，掌握其核心思想和灵活变形是关键。通过大量练习，可以提升解题效率和应变能力，尤其在应对高考和竞赛题目时效果显著。