巧用几何性质：求解动点相关线段和最小值问题

巧用几何性质：求解动点相关线段和最小值问题

在初中数学几何题中，求与动点相关的两线段长度之和的最小值是一类常见问题。这类问题通常需要巧妙运用几何性质和定理。本文将通过一道具体题目，详细解析这类问题的解题思路。

题目

如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，D是线段CB上的一动点，以AD为边在AD下方作等边三角形ADE。已知三角形ABC的面积为2√3，求DE+BE的最小值。

解题思路

1. 识别问题类型：这是一道“求与动点相关的两线段长度之和的最小值”的问题。通常的解法是利用“两点之间，线段最短”的原理，即让两线段相连，固定点位于两端、动点位于中间，当三点共线时，线段长度之和最小。

2. 利用等边三角形性质：题目中提到ADE是等边三角形，这是一个重要的信息点。等边三角形的性质可以提供更多的角度值和边长关系。注意到DE+BE可以转化为AD+BE，因为ADE是等边三角形。

3. 构造辅助图形：观察到ABC是一个30°-60°-90°的特殊直角三角形，可以将其扩展为等边三角形ACF，其中B是AF的中点。

4. 旋转与全等：通过观察，可以发现ADE可以通过ACF绕点A旋转并缩小得到，因此∠CAD=∠BAE。进一步，在AC上取中点G，可以证明△AGD≌△ABE，从而得到GD=BE。

5. 进一步转化：此时问题转化为求AD+GD的最小值。但是直接考虑A、G、D三点共线并不合适，因为这不会给出最小值。再次利用等边三角形的性质，在CF上取中点H，得到DH=DG。

6. 最终转化：现在问题转化为求AD+DH的最小值。当D沿着CB移动至A、D、H三点共线时，AD+DH达到最小值。

7. 计算最小值：根据题目条件，可以计算出AH的长度，即为所求最小值。

完整解题过程

1. 作辅助线：

• 延长AB至F，使AB=BF
• 连接CF
• 分别取AC、CF的中点G、H，连接GD、DH、AH

2. 证明△AFC为等边三角形：

• ∵AB=BF，∠CBA=∠CBF=90°，BC=BC
• ∴△ABC≌△CBF
• ∴∠ACB=∠BCF=30°
• ∴∠CAF=∠AFC=∠ACF=60°
• ∴△ACF为等边三角形

3. 证明DH=BE：

• ∵∠CAB=∠DAE=60°且∠DAB为公共角
• ∴∠CAD=∠FAE
• ∵AG=AB，AD=AE
• ∴△GAD≌△BAE
• ∴GD=BE
• ∵GD=DH
• ∴DH=BE

4. 计算DE+BE的最小值：

• 由上述证明可知，DE+BE=AD+DH
• 当A、D、H共线时，AD+DH值最小
• 根据已知数据，AH=BC=S△ABC×2÷AB=2√3×2÷2=2√3

因此，DE+BE的最小值为2√3。