在无穷处的极限

在无穷处的极限

在无穷处的极限

一个函数在x趋于某一点时可能存在极限，例如x趋近于a的时候，在另外一些函数中还有可能在趋近于无穷∞时存在极限（-∞或+∞），这些类型的函数一样非常常见。

定义

之前文章的例子都是在接近一点x=a时的函数行为，在函数趋近于∞情况下的极限，重要的是要理解当x变得非常大时，一个函数的行为如何。用更简便的语言来描述就是：我们感兴趣的是，研究当变量x趋于∞时函数的行为，并且想写出

lim x→∞ f(x)=L

并以此表示，当x很大的时候，f(x)变得非常接近于值L，并保持这种接近的状态。

另外，x也可以趋近于-∞，此时就可以写出如下式子

lim x→-∞ f(x)=L

它表示当x变得越来越负 (或者更确切地说，-x变得越来越大时，函数f(x)会变得非常接近于值L，并保持接近的状态。

渐近线

渐近线是指：曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。可分为垂直渐近线，水平渐近线和斜渐近线。

(1) 例如上图反比例函数的渐近线就是X轴和Y轴，当x趋近于∞时极限为0，当x趋近于0时极限为∞。

(2)f在x=a处有一条垂直渐近线说的是，lim x→a+ f(x)和lim x→a- f(x)，其中至少有一个极限是∞或-∞，例如上图中渐近线x=0时极限为∞。

后面需要使用渐近线的一些特性得到一些关于极限结论，所以这里引出一下关于渐近线的定义，实际上渐近线和这里的内容无关，只是使用到了，在这里作出一些解释。

结论

如果函数y=f(x)的图像有一条左侧或右侧水平渐近线，如果愿意，你也可以把这些转化为定义（结论）：

(1)f在y=L处有一条右侧水平渐近线意味着lim x→∞ f(x)=L。

(2)f在y=M处有一条左侧水平渐近线意味着lim x→-∞ f(x)=M。

(3) 不是所有函数有渐近线，像y=x^2这样的函数没有任何水平渐近线，因为当x变得越来越大时，y值只会无限上升。用符号表示我们可以写作lim x→∞ x^2=∞。

渐近线的两个常见误解

第一个误解：

首先，一个函数不一定要在左右两边有相同的水平渐近线，在f(x)=1/x的图像中，左右两侧都有y=0这条水平渐近线，也就是说

lim x→∞ 1/x=0 和 lim x→-∞ -1/x=0

考虑图 3-10 中y=tan^-1(x)的图像，如下

此函数在y=π/2处有一条右侧水平渐近线, 在y=-π/2处有一条左侧水平渐近线，它们是不同的。可以用极限来表示：

lim x→∞ tan^-1 x=π/2 和 lim x→-∞ tan^-1 x=-π/2

因此，一个函数的确可以有不同的右侧和左侧水平渐近线，但最多只能有两条水平渐近线（一条在右侧，另一条在左侧）它也有可能一条都没有，或者只有一条。例如y=2^x有一条左侧水平渐近线（就是y=0这条，也就是X轴），但没有右侧水平渐近线（因为右边无线变大，没有趋近一个值，所以没有渐近线）。

第二个误解：

另外一个常见误解是，一个函数不可能和它的渐近线相交。大家都认为渐近线是一条函数越来越接近但永远不会相交的直线，但是这并不正确，这说的是斜渐近线。水平渐近线不这么定义，水平渐近线可以和函数相交。

比如定义为f(x)=sin(x)/x 的函数f，这里我们只关心当x是很大的正数时的函数行为。

sin(x)的值在-1和1之间振荡（不是只-1和1两个值，而是-1到1之间的任意值）, 因此sin(x)/x 的值相当于在-1/x 和1/x 之间振荡，那么随着x趋近于∞，-1/x 和1/x 趋近于0，这意味着f(x)=sin(x)/x 的渐近线是y=0即x轴是f的水平渐近线，尽管y=f(x)的图像与x轴一次又一次地相交。