费曼路径积分简单示例

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@小白创作中心

费曼路径积分简单示例

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CSDN

https://blog.csdn.net/weixin_41235419/article/details/144042558

费曼路径积分是量子力学中一种重要的计算方法，它通过考虑粒子所有可能的运动路径来计算粒子从一个点到另一个点的概率幅。这种方法由理查德·费曼提出，已经成为量子场论和统计力学中的重要工具。本文将详细介绍费曼路径积分的基本原理、公式推导以及一个简单的自由粒子示例，并附有Matlab程序实现。

费曼路径积分基本思想

费曼路径积分的基本思想是将粒子从起点A到终点B的传播振幅表示为所有可能路径的贡献之和。具体推导过程如下：

作用量 (S)：
作用量定义为拉格朗日量L在时间上的积分：
$$
S[x(t)] = \int_{0}^{T} L(x, \dot{x}, t) , dt
$$
其中，L是拉格朗日量，通常表示为：
$$
L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - V(x)
$$
作用量S描述了粒子在路径x(t)上从时间0到时间T的运动情况。拉格朗日量L包含了粒子的动能项和势能项，反映了系统的动力学性质。
传播振幅的表达式：
粒子从点A到点B的传播振幅可以表示为：
$$
\langle B | e^{-iHT/\hbar} | A \rangle = \int \mathcal{D}[x(t)] e^{iS[x(t)]/\hbar}
$$
其中，H是哈密顿量，D[x(t)]表示对所有可能路径进行积分。
离散化路径积分：
为了计算路径积分，通常将时间分割成N个小间隔，每个间隔的长度为Δt = T/N。路径x(t)则被近似为离散点x0, x1, …, xN，其中x0 = A，xN = B。传播振幅的表达式变为：
$$
\langle B | e^{-iHT/\hbar} | A \rangle \approx \lim_{N \to \infty} \left( \frac{m}{2\pi i \hbar \Delta t} \right)^{N/2} \int \prod_{j=1}^{N-1} dx_j \exp\left( \frac{i}{\hbar} \sum_{j=1}^{N} \left[ \frac{m}{2} \left(\frac{x_j - x_{j-1}}{\Delta t}\right)^2 - V(x_j) \right] \Delta t \right)
$$
为了实际计算路径积分，我们将连续的时间轴离散化为有限的时间步长Δt，并将路径x(t)近似为一系列离散点x0, x1, …, xN。传播振幅的表达式由这些离散点的积分近似表示，其中每一个积分∫dxj对应于在第j个时间步的路径位置。指数中的求和项近似为作用量的离散形式，动能项和势能项分别对应拉格朗日量中的动能和势能部分。随着N → ∞，Δt → 0，这种离散化方法将更精确地逼近连续的路径积分。

简单示例

考虑一个自由粒子系统，其拉格朗日量为：
$$
L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2
$$
在这种情况下，作用量简化为：
$$
S[x(t)] = \int_{0}^{T} \frac{1}{2}m\dot{x}^2 , dt
$$
路径积分表达式为：
$$
\langle B | e^{-iHT/\hbar} | A \rangle = \int \mathcal{D}[x(t)] \exp\left(\frac{i}{\hbar} \int_{0}^{T} \frac{1}{2}m\dot{x}^2 , dt\right)
$$

路径积分的详细计算过程

为了计算上述路径积分，我们将按照以下步骤进行详细的推导和解释：

路径的离散化
为了将路径积分转化为可计算的形式，我们首先将时间区间[0, T]离散化为N个小间隔，每个时间步长为Δt = T/N。在这种离散化的框架下，路径x(t)被近似为一系列离散点x0, x1, …, xN，满足边界条件：
$$
x(0) = x_0 = A \quad \text{和} \quad x(T) = x_N = B
$$
作用量的离散化
在时间被离散化的情况下，作用量S[x(t)]也可以被离散化为：
$$
S[x(t)] \approx \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{2}m\left(\frac{x_j - x_{j-1}}{\Delta t}\right)^2 \Delta t
$$
这里，xj - xj-1 / Δt近似表示了粒子在第j个时间步的速度。
路径积分表达式的离散化
在离散化路径和作用量之后，路径积分表达式变为：
$$
\langle B | e^{-iHT/\hbar} | A \rangle \approx \left(\frac{m}{2\pi i \hbar \Delta t}\right)^{\frac{N}{2}} \int dx_1 \int dx_2 \cdots \int dx_{N-1} \exp\left(\frac{i}{\hbar} \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{2}m\left(\frac{x_j - x_{j-1}}{\Delta t}\right)^2 \Delta t\right)
$$
其中，归一化因子( m / 2πiℏΔt)N/2来自高斯积分的标准化。
高斯积分的应用
由于作用量是二次型，路径积分可以被视为多维高斯积分，其形式为：
$$
\int \prod_{j=1}^{N-1} dx_j \exp\left(\frac{i}{\hbar} \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{2}m\left(\frac{x_j - x_{j-1}}{\Delta t}\right)^2 \Delta t\right)
$$
这种积分可以分解为若干个独立的高斯积分，每个积分对应一个位置变量xj。利用高斯积分的性质，最终可以得到传播振幅的解析表达式。
传播振幅的最终表达式
通过对所有离散变量进行积分计算，并在N → ∞后取极限，我们得到自由粒子的传播振幅为：
$$
\langle B | e^{-iHT/\hbar} | A \rangle = \sqrt{\frac{m}{2\pi i \hbar T}} \exp\left(\frac{i m (B - A)^2}{2 \hbar T}\right)
$$

详细解释

离散化时间和路径：将连续的时间轴离散化是路径积分计算中的标准步骤。这种方法将无限维的路径积分转化为有限维的积分，使其在理论上可处理。
作用量的离散化：将作用量离散化为时间步长的和，使得每个时间步的贡献可以单独计算。这也是实现路径积分的关键步骤，特别是当作用量是二次型时，高斯积分技术可以被有效应用。
高斯积分的应用：当作用量为二次型时，路径积分可以利用高斯积分的性质被精确计算。这是因为二次型的指数函数对应于高斯分布，这种积分具有已知的解析解。
归一化因子的来源：归一化因子确保了路径积分的正确量纲和概率解释。它来源于连续高斯积分的标准化常数。
最终结果的物理意义：传播振幅的表达式体现了粒子从点A到点B的传播是受限于粒子的质量m、普朗克常数ℏ以及传播时间T的影响。指数项中的(B - A)2表明路径的距离对振幅的相位有直接影响。

通过上述详细的计算过程和解释，我们不仅得到了自由粒子的传播振幅的具体表达式，还深入理解了路径积分方法在量子力学中的应用和意义。

Matlab演示程序

以下是一个Matlab程序，用于模拟自由粒子的路径积分。该程序通过随机生成多个粒子路径，计算每条路径的作用量，并求取传播振幅的近似值。改进之处包括更详细的注释、优化的路径生成方法以及结果的可视化。

% Matlab代码示例：计算自由粒子的路径积分（单位已缩放以避免数值不稳定）
% 清除环境变量
clear; clc; close all;
% 参数设置（采用无量纲单位：ħ = 1, m = 1, T = 1）
m = 1;          % 粒子质量（单位：1）
hbar = 1;       % 约化普朗克常数（单位：1）
T = 1;          % 总时间（单位：1）
N = 100;        % 时间分割数
dt = T / N;     % 每个时间步长
x0 = 0;         % 初始位置
xN = 0;         % 终止位置
num_paths = 10000; % 模拟路径数量（增加数量以提高精度）
% 随机种子设置（可重复性）
rng(0);
% 初始化路径数组
% 每行表示一条路径，每列表示一个时间步的位置
paths = zeros(num_paths, N+1);
paths(:,1) = x0;
% 生成随机路径（确保路径从 x0 到 xN）
for i = 1:num_paths
    % 生成中间点
    mid_points = sqrt(dt) * randn(N-1,1);
    % 线性插值以确保路径起点和终点
    paths(i,2:N) = cumsum(mid_points) - (paths(i, end-1) + cumsum(mid_points)) * (paths(i,end-1) - xN) / (N-1);
    paths(i,end) = xN; % 确保终点
end
% 计算每条路径的作用量
% 仅考虑自由粒子的拉格朗日量 L = 0.5 * m * v^2
S = 0.5 * m * sum((diff(paths,1,2)/dt).^2, 2) * dt;
% 计算路径积分
% 归一化因子
norm_factor = (m / (2 * pi * 1i * hbar * dt))^(N/2);
% 使用矢量化方式计算指数项
path_integral = norm_factor * mean(exp(1i * S / hbar));
% 显示结果
disp(['路径积分的近似值：', num2str(path_integral)]);
disp(['路径积分的模长：', num2str(abs(path_integral))]);
disp(['路径积分的相位：', num2str(angle(path_integral))]);
% 可视化部分路径示例
figure;
num_display = 10; % 显示的路径数量
plot(linspace(0, T, N+1), paths(1:num_display,:)', 'LineWidth',1.5);
xlabel('时间 t (单位：1)');
ylabel('位置 x(t) (单位：1)');
title('部分粒子路径示例');
grid on;
% 可视化作用量的分布
figure;
histogram(S, 50);
xlabel('作用量 S[x(t)] (单位：1)');
ylabel('路径数量');
title('作用量分布');
grid on;

程序说明：

参数设置：定义了粒子的质量、约化普朗克常数、总时间、时间分割数、初始和终止位置等参数。增加了粒子数量num_paths以提高模拟精度，并设置了随机种子以确保结果可重复。
路径生成：通过随机生成每个时间步的位移，构建多个粒子路径。位移遵循高斯分布，以模拟量子涨落。改进了路径生成方法，确保更好地满足终点条件。
作用量计算：对于每条路径，计算其对应的作用量S[x(t)]，这里只考虑了自由粒子的拉格朗日量L = 1/2 * m * v^2。
路径积分计算：使用矢量化方法计算所有路径的指数项，并对它们取平均，乘以归一化因子，得到传播振幅的近似值。
结果输出与可视化：