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探索100以内质数的秘密：黎曼猜想与哥德巴赫猜想

创作时间:

作者:

@小白创作中心

探索100以内质数的秘密：黎曼猜想与哥德巴赫猜想

引用

搜狐

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来源

https://www.sohu.com/a/809159678_121124544

https://blog.csdn.net/full2024/article/details/137229824

https://blog.csdn.net/2202_75569688/article/details/142813349

https://blog.csdn.net/cf2SudS8x8F0v/article/details/118585306

https://blog.csdn.net/m0_70980326/article/details/134147669

https://www.baike.com/wikiid/7212074731645911092

https://www.acwing.com/blog/content/48983/

http://www.360doc.com/content/24/0503/17/802620_1122242797.shtml

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B3%AA%E6%95%B8%E5%88%97%E8%A1%A8

10.

https://www.weiwen.org/p/prime-sieves-on-scala-simple-eratosthenes-sieve

11.

https://m.yiche.com/baike/29418455.htm

12.

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%9B%A0%E5%BC%8F%E5%88%86%E8%A7%A3%E6%B3%95

质数是数学中的神秘存在，它们在自然数中的分布规律一直是数学家们研究的重点。黎曼猜想和哥德巴赫猜想更是关于质数的重要未解之谜。本文将带你深入了解100以内质数的分布特点，探讨这些看似随机排列的数字背后隐藏的规律。

100以内质数的分布

100以内的质数共有25个，具体如下：

2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19,
23, 29,
31, 37,
41, 43, 47,
53, 59,
61, 67,
71, 73, 79,
83, 89,
97

为了更直观地理解这些质数的分布，我们可以使用埃拉托色尼筛法（简称埃筛）来找出它们。

埃拉托色尼筛法的基本思想是通过不断标记合数来筛选出素数。具体步骤如下：

初始化一个数组，将所有数标记为素数
从2开始，将每个素数的倍数标记为非素数
重复步骤2，直到遍历到sqrt(n)

以下是使用埃筛法找出100以内质数的C++代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    
    int n = 100;
    vector<int> isPrime(n + 1, 1);  // 初始化所有数为素数
    isPrime[0] = isPrime[1] = 0;    // 0 和 1 不是素数

    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {  // 从 2 开始到 sqrt(n)
        if (isPrime[i]) {  // 如果 i 是素数
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {  // 标记 i 的所有倍数为非素数
                isPrime[j] = 0;
            }
        }
    }

    // 输出所有素数
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        if (isPrime[i]) {
            cout << i << " ";
        }
    }
    
    return 0;
}

运行这段代码，我们得到的结果与前面列出的25个质数完全一致。

黎曼猜想与质数分布

黎曼猜想是数论中最重要的未解之谜之一，它由德国数学家伯恩哈德·黎曼于1859年提出。这个猜想涉及自然数的基石——质数，即大于1且只能被1和自身整除的数。

黎曼猜想的核心内容是关于质数在数轴上的分布规律。它指出，质数的分布密度会按照质数定理所示逐渐减少，且质数按照这种密度均匀分布。更具体地说，它预测了质数分布的偏差不会变得无限大，而是最多以√n的速度增长。

为了理解这一点，我们可以看看100以内质数的实际分布情况。根据质数定理，从0到n的区间中大约会出现n/ln(n)个质数。对于n=100，这个估计值为100/ln(100) ≈ 22个质数，而实际上有25个，偏差为3个。这个偏差在黎曼猜想的预测范围内。

黎曼猜想的证明将为数学家提供一张数字的“元素周期表”，帮助我们更好地理解自然数的结构。尽管经过160多年的研究，这个猜想仍未被证明，但它对整个数学领域的影响深远，许多重要的数学定理都依赖于它的正确性。

哥德巴赫猜想的验证

哥德巴赫猜想是另一个著名的关于质数的未解之谜。它最早由德国数学家哥德巴赫于1742年提出，分为强弱两种形式：

强哥德巴赫猜想：任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和
弱哥德巴赫猜想：任何一个大于7的奇数都可以表示为三个素数之和

让我们通过具体实例来验证100以内偶数是否符合强哥德巴赫猜想。

以6为例：
6 = 3 + 3

以24为例：
24 = 11 + 13

以100为例：
100 = 97 + 3

这些例子都符合猜想的描述。为了进一步验证，我们可以编写一个简单的程序来检查100以内所有偶数是否都能表示为两个质数之和。

以下是C++代码实现：

#include<stdio.h>
int zs(int x)
{
    for (int i = 2; i < x; i++)//判断是否为质数的函数
                           //若为质数，返回0，不是则返回1
    {
        if (x % i == 0)
            return 1;
    }
    return 0;
}

void num(int n)
{
    for (int i = 2; i < n; i++)
    {                                         //核心函数
        if (zs(i) == 0 && zs(n - i) == 0)     //用来解决思路中的第二条
        {
            printf("%d+%d=%d\n", i, n - i, n);
            break;
        }
    }
}

int main()
{
    int a = 100;
    for (int b = 4; b <= a; b+=2)     //按顺序输出
    {                             //注意是b+=2
        num(b);                  
    }

    return 0;
}

运行这段代码，我们可以看到100以内所有偶数都能被分解为两个质数之和，这进一步支持了哥德巴赫猜想的正确性。