对勾函数的性质及图像详解

对勾函数的性质及图像详解

引用

高三网

1.

http://www.gaosan.com/gaokao/827701.html

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，其图像形似对勾，因此得名。本文将详细介绍对勾函数的性质、图像特征及其最值公式，帮助读者全面理解这一重要的数学概念。

对勾函数的定义

对勾函数的一般形式为 (f(x) = ax + \frac{b}{x})（其中 (ab > 0)）。常见情况下，(a = b = 1)，即 (f(x) = x + \frac{1}{x})。

对勾函数的性质

1. 奇偶性：对勾函数 (f(x) = x + \frac{1}{x}) 是奇函数，因为 (f(-x) = -f(x))。

2. 单调性：

• 在区间 ((0, 1)) 内，函数是减函数。
• 在区间 ((1, +\infty)) 内，函数是增函数。

3. 渐近线：函数图像有两条渐近线，分别是 (y = x) 和 (y = -x)。

4. 对称性：函数图像关于原点对称。

对勾函数的图像特征

对勾函数的图像是一个中心在原点、开口向两个方向的双曲线。在 (x) 轴的正半轴上，图像从无穷大开始，随着 (x) 的增大而减小，直到 (x = 1) 时达到最小值 2，然后随着 (x) 的继续增大而增大。在 (x) 轴的负半轴上，图像的行为与正半轴对称。

对勾函数的最值公式

对勾函数的最值公式为：
[x + \frac{a}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{a}{x}} = 2\sqrt{a}]
因此，(f(x)) 的最小值为 (2\sqrt{a})。

对于 (f(x) = x + \frac{a}{x}) 这种形式（其中 (\sqrt{a}) 表示 (\sqrt{a})），当 (x > 0) 时，有最小值，为 (f(\sqrt{a}))。

具体来说：

• 当 (x > 0) 时，有 (x = \sqrt{\frac{b}{a}})，最小值是 (2\sqrt{ab})。
• 当 (x < 0) 时，有 (x = -\sqrt{\frac{b}{a}})，最大值是 (-2\sqrt{ab})。

总结

对勾函数作为一种特殊的双曲函数，其图像和性质在数学中具有重要地位。通过本文的介绍，读者可以全面了解对勾函数的定义、性质、图像特征及其最值公式的推导过程，为进一步学习和应用打下坚实的基础。