寒假高数秘籍：三角函数大作战

寒假高数秘籍：三角函数大作战

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1.

https://caijing.chinadaily.com.cn/a/202102/18/WS602e2bbea3101e7ce973ff47.html

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/514203103

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https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/137771667

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/377729033

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/445995758

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https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/138394341

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https://blog.csdn.net/m0_69941818/article/details/129269030

8.

https://www.hnfudu.com/article.php?act=view&id=2704

9.

https://app.gaokaozhitongche.com/newsfeatured/h/grZ3vJ2A

三角函数是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点。据统计，近五年（2017-2021年）新高考全国一卷中，三角函数的考查形式多样，既可能单独考查，也可能与其他知识点结合，且有向开放题型发展的趋势。因此，掌握三角函数的核心知识和解题技巧，对于提高数学成绩至关重要。

三角函数主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义域、值域、周期性和奇偶性等性质是学习的基础。例如，正弦函数(y = \sin x)的图像如下所示：

其主要性质包括：

• 定义域：全体实数
• 值域：([-1, 1])
• 周期：(2\pi)
• 奇偶性：奇函数

类似地，余弦函数(y = \cos x)和正切函数(y = \tan x)也有其特定的图像和性质。

图像变换

三角函数的图像变换是高考中的难点之一，主要包括平移、伸缩、翻转和对称四种类型。以平移变换为例，水平平移时应遵循“左加、右减”的规律，且平移单位只针对自变量(x)。例如，将函数(y = \sin x)的图像向左平移(\frac{\pi}{2})个单位，得到的新函数为(y = \sin(x + \frac{\pi}{2}))。

诱导公式

诱导公式是解决三角函数问题的重要工具。例如，对于任意角(\alpha)，有：

• (\sin(k\pi + \alpha) = (-1)^k \sin \alpha)
• (\cos(k\pi + \alpha) = (-1)^k \cos \alpha)
• (\tan(k\pi + \alpha) = (-1)^k \tan \alpha)
• (\cot(k\pi + \alpha) = (-1)^k \cot \alpha)

这些公式可以帮助我们将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值。

以2021年新高考全国一卷中的一道三角函数解答题为例：

题目：已知函数(f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6}) + \cos(2x - \frac{\pi}{3}))。

（1）求(f(x))的最小正周期和最大值；
（2）讨论(f(x))在区间([0, \frac{\pi}{2}])上的单调性。

解析：
（1）首先利用三角恒等变换将函数化简：
[
f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6}) + \cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \sin(2x + \frac{\pi}{3})
]
因此，最小正周期为(\pi)，最大值为(\sqrt{3})。

（2）讨论单调性时，需要考虑函数的导数或直接分析函数的增减区间。在区间([0, \frac{\pi}{2}])上，(f(x))在([0, \frac{\pi}{12}])上单调递增，在([\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}])上单调递减。

1. 见“给角求值”问题：运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间((-90^\circ, 90^\circ))的公式。
2. 见“sinα±cosα”问题：运用三角“八卦图”判断终边位置。
3. 见“知1求5”问题：造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数。
4. 见“切割”问题：转换成“弦”的问题。
5. 见齐次式：已知tanα，求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin²α+cos²α。
6. 见“正弦值或角的平方差”形式：启用“平方差”公式。
7. 见“sinα±cosα与sinαcosα”问题：起用平方法则。
8. 见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题：启用变形公式。
9. 见三角函数“对称”问题：启用图象特征代数关系。
10. 见“求最值、值域”问题：启用有界性，或者辅助角公式。
11. 见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化。

通过系统学习和大量练习，掌握这些技巧，可以有效提高解题效率和准确性。希望同学们在寒假期间，能够充分利用时间，扎实掌握三角函数的相关知识，为高考做好充分准备。